一个绕脑袋的数列问题

力工

正数数列{${a_n}$}的各项互不相等，{${a_n}$},{${\frac{1}{a_n}}$}的前$n$项和分别为$S_n,T_n$，若{${b_n}$}为正整数列，且$b_{n}^2=S_{n}T_{n}$，求证：$b_{27}\geqslant 40$.

kuing

由柯西有
\[b_2=\sqrt{(a_1+a_2)\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}\right)}>2,\]
不能取等是因为 `a_1\ne a_2`，而 `b_i` 为正整数，这样就有 `b_2\geqslant3`。

继续由柯西有
\begin{align*}
b_4&=\sqrt{(a_1+a_2+a_3+a_4)\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\frac1{a_3}+\frac1{a_4}\right)}\\
&>\sqrt{(a_1+a_2)\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}\right)}+1+1\\
&=b_2+2,
\end{align*}
也是因为 `a_3\ne a_4` 不能取等，所以 `b_4\geqslant b_2+3`。

同样道理，对于 `n\geqslant3`，都有
\begin{align*}
b_n&=\sqrt{(a_1+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)\left(\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_{n-2}}+\frac1{a_{n-1}}+\frac1{a_n}\right)}\\
&>\sqrt{(a_1+\cdots+a_{n-2})\left(\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_{n-2}}\right)}+1+1\\
&=b_{n-2}+2,
\end{align*}
得到 `b_n\geqslant b_{n-2}+3`，故对于偶数项有 `b_{2k}\geqslant b_2+3(k-1)\geqslant3k`，于是 `b_{26}\geqslant39`，所以 `b_{27}\geqslant40`。