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本帖最后由 hejoseph 于 2024-5-13 16:08 编辑 初步结果：按照椭圆的变设法，如果点 $A$、$B$ 的坐标分别为 $(-c,0)$、$(c,0)$，且 $PA+kPB=2a$，其中 $a$、$c$、$k$ 为正数，那么变为整式方程后为
\[
((1-k^2)(x^2+y^2+c^2)-2c(1+k^2)x-4a^2)^2=16a^2k^2((x+c)^2+y^2)
\]
这个整式方程当 $k\leqslant |a-c|/c$ 或 $k\geqslant (a+c)/c$ 时内外封闭曲线无凹进去的情形，当 $|a-c|/c<k<(a+c)/k$ 时外封闭曲线有凹进去的情形。当 $a>c$，$k=a/c$ 或 $a=c$，$0<k<1$ 时内外封闭曲线有一个公共点（第一种情况公共点坐标为 $(c,0)$，第二种情况公共点坐标为 $(-c,0)$）；当 $a<c$，$k=a/c$ 或 $a=c$，$k>1$ 时内封闭曲线退化成点（第一种情况内封闭曲线退化成点 $(c,0)$，第二种情况封闭曲线退化成 $(-c,0)$ ）。 |
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