笛卡尔卵形线问题

hejoseph

点A、B为已知点，a、k为大于零的常数，满足PA+kPB=a的点P的轨迹就称为笛卡尔卵形线。卵形线去根号化为整式方程后变为一个四次方程，这个四次方程的图像如下图一般是两个互相独立的封闭曲线，有可能内外封闭曲线都是凸的，也有可能外封闭曲线有一部分凹进去，也有可能有一个公共点，那么在什么条件下才会出现上述的三种情形？原始定义的笛卡尔卵形线是否为内部封闭曲线？

hejoseph

初步结果：按照椭圆的变设法，如果点 $A$、$B$ 的坐标分别为  $(-c,0)$、$(c,0)$，且 $PA+kPB=2a$，其中 $a$、$c$、$k$ 为正数，那么变为整式方程后为
\[
((1-k^2)(x^2+y^2+c^2)-2c(1+k^2)x-4a^2)^2=16a^2k^2((x+c)^2+y^2)
\]
这个整式方程当 $k\leqslant |a-c|/c$ 或 $k\geqslant (a+c)/c$ 时内外封闭曲线无凹进去的情形，当 $|a-c|/c<k<(a+c)/k$ 时外封闭曲线有凹进去的情形。当 $a>c$，$k=a/c$ 或 $a=c$，$0<k<1$ 时内外封闭曲线有一个公共点（第一种情况公共点坐标为 $(c,0)$，第二种情况公共点坐标为 $(-c,0)$）；当 $a<c$，$k=a/c$ 或 $a=c$，$k>1$ 时内封闭曲线退化成点（第一种情况内封闭曲线退化成点 $(c,0)$，第二种情况封闭曲线退化成 $(-c,0)$ ）。

hejoseph

笛卡尔卵形线有个比较奇特的结论，化为整式方程后，外部的封闭曲线就是PA-kPB=2a或PA-kPB=-2a的轨迹，这跟双曲线有很大的区别。
而且如果k<0，PA+kPB=2a变为PA-(-k)PB=2a，PA-kPB=2a变为PA+(-k)PB=2a，这些都是k>0的结果，所以只需要讨论k>0的情形即可。

hejoseph

以下链接对这个卵形线有详细的讨论：
mathcurve.com/courbes2d.gb/descartes/descartes.shtml
escholarship.org/content/qt0d394338/qt0d39433 … 169eba7e280e074f.pdf