某个高次方程根的三角函数表示

青青子衿

如下表达式中，嵌套根式里还能分离出来一个二次代数数吗？
\begin{align*}
x_6=\frac{55}{3}+7 \sqrt{5}+\frac{1}{3}(5\sqrt{2}+2\sqrt{10}) \sqrt{159+11 \sqrt{5}}\cos \left(\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{6 (1873-828\sqrt{5}) \sqrt{363-42 \sqrt{5}}}{80209}\right)\right)
\end{align*}

1. 2000 - 21000*x + 21625*x^2 - 8650*x^3 + 1555*x^4 - 110*x^5 + x^6
2. MinimalPolynomial[
3. 55/3 + 7 Sqrt[5] +
4.   1/3 (5 (74720 + 33417 Sqrt[5] -
5.        6 I (20 + 9 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]]))^(1/3) +
6.   1/3 (5 (74720 + 33417 Sqrt[5] +
7.        6 I (20 + 9 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]]))^(1/3), x]
8. NSolve[2000 - 21000 x + 21625 x^2 - 8650 x^3 + 1555 x^4 - 110 x^5 +
9.    x^6 == 0, x]
10. 55/3 + 7 Sqrt[5] +
11.   1/3 (5 (74720 + 33417 Sqrt[5] -
12.        6 I (20 + 9 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]]))^(1/3) +
13.   1/3 (5 (74720 + 33417 Sqrt[5] +
14.        6 I (20 + 9 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]]))^(
15.    1/3) // ComplexExpand
16. MinimalPolynomial[
17. 55/3 + 7 Sqrt[5] + (Sqrt[2] (5 + 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 + 11 Sqrt[5]])/
18.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6 (1873 - 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]])/
19.       80209]], x]
20. 55/3 + 7 Sqrt[5] + (Sqrt[2] (5 + 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 + 11 Sqrt[5]])/
21.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6 (1873 - 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]])/
22.       80209]] // N
23. 55/3 + 7 Sqrt[5] - (Sqrt[2] (5 + 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 + 11 Sqrt[5]])/
24.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6 (1873 - 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]])/
25.        80209] + \[Pi]/3] // N
26. 55/3 + 7 Sqrt[5] - (Sqrt[2] (5 + 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 + 11 Sqrt[5]])/
27.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6 (1873 - 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 - 42 Sqrt[5]])/
28.        80209] - \[Pi]/3] // N
29. 55/3 - 7 Sqrt[5] - (Sqrt[2] (5 - 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 - 11 Sqrt[5]])/
30.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6  (1873 + 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 + 42 Sqrt[5]])/
31.       80209]] // N
32. 55/3 - 7 Sqrt[5] + (Sqrt[2] (5 - 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 - 11 Sqrt[5]])/
33.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6  (1873 + 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 + 42 Sqrt[5]])/
34.        80209] + \[Pi]/3] // N
35. 55/3 - 7 Sqrt[5] + (Sqrt[2] (5 - 2 Sqrt[5]) Sqrt[159 - 11 Sqrt[5]])/
36.    3 Cos[1/3 ArcTan[(6  (1873 + 828 Sqrt[5]) Sqrt[363 + 42 Sqrt[5]])/
37.        80209] - \[Pi]/3] // N

复制代码

kuing

标题指的高次方程就是代码里的 2000 - 21000*x + 21625*x^2 - 8650*x^3 + 1555*x^4 - 110*x^5 + x^6 吗？它可以分解
\begin{align*}
&2000-21000x+21625x^2-8650x^3+1555x^4-110x^5+x^6\\
={}&\left(-650+290\sqrt5-\frac{105}2\left(-7+3\sqrt5\right)x+\left(-55+21\sqrt5\right)x^2+x^3\right)\\
&\times\left(-650-290\sqrt5-\frac{105}2\left(-7-3\sqrt5\right)x+\left(-55-21\sqrt5\right)x^2+x^3\right).
\end{align*}