2024东南地区数学奥林匹克数学竞赛的不等式题

lemondian

2024东南地区数学奥林匹克数学竞赛试题（高二第一天第2题）：
设$a,b,c,d\in(0,1)$，满足$a^2+b^2+c^2+d^2=3$。求证：$\dfrac{1-a^2}{b+c}+\dfrac{1-b^2}{c+d}+\dfrac{1-c^2}{d+a}+\dfrac{1-d^2}{a+b}<\dfrac{2}{3}$

Aluminiumor

以下 $\sum_{cyc}$ 简写为 $\sum$
$$\sum\frac{1-a^2}{b+c}<\sum\frac{1-a^2}{b^2+c^2}$$
转化为证明 $$a,b,c,d\in(0,1),a+b+c+d=3,\sum\frac{1-a}{b+c}\leq\frac23$$
即证
$$4-\sum\frac{2-2a}{b+c}=\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\geq\frac83$$
$$\begin{align*}
S & =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\sum\Big((2a+b+c-2)(b+c)\Big)\\
& =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\sum\Big((a-d+1)(3-a-d)\Big)\\
& =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\sum\Big(-a^2+d^2+2a-4d+3\Big)\\
& =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\cdot6
\end{align*}$$
又
$$S\geq\left(\sum(2a+b+c-2)\right)^2=16$$
故得证.

lemondian

Aluminiumor 发表于 2024-7-31 07:50
以下 $\sum_{cyc}$ 简写为 $\sum$
$$\sum\frac{1-a^2}{b+c}<\sum\frac{1-a^2}{b^2+c^2}$$
转化为证明 $$a,b ...

谢谢。
不知还有没有其它证法呢？

Aluminiumor

来源见水印

Aluminiumor

来源:公众号“恩次方根”