2024东南地区数学奥林匹克数学竞赛的不等式题

lemondian

2024东南地区数学奥林匹克数学竞赛试题（高二第一天第2题）：
设$a,b,c,d\in(0,1)$，满足$a^2+b^2+c^2+d^2=3$。求证：$\dfrac{1-a^2}{b+c}+\dfrac{1-b^2}{c+d}+\dfrac{1-c^2}{d+a}+\dfrac{1-d^2}{a+b}<\dfrac{2}{3}$

Aluminiumor

以下 $\sum_{cyc}$ 简写为 $\sum$
$$\sum\frac{1-a^2}{b+c}<\sum\frac{1-a^2}{b^2+c^2}$$
转化为证明 $$a,b,c,d\in(0,1),a+b+c+d=3,\sum\frac{1-a}{b+c}\leq\frac23$$
即证
$$4-\sum\frac{2-2a}{b+c}=\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\geq\frac83$$
$$\begin{align*}
S & =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\sum\Big((2a+b+c-2)(b+c)\Big)\\
& =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\sum\Big((a-d+1)(3-a-d)\Big)\\
& =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\sum\Big(-a^2+d^2+2a-4d+3\Big)\\
& =\sum\frac{2a+b+c-2}{b+c}\cdot6
\end{align*}$$
又
$$S\geq\left(\sum(2a+b+c-2)\right)^2=16$$
故得证.

lemondian

Aluminiumor 发表于 2024-7-31 07:50
以下 $\sum_{cyc}$ 简写为 $\sum$
$$\sum\frac{1-a^2}{b+c}<\sum\frac{1-a^2}{b^2+c^2}$$
转化为证明 $$a,b ...

谢谢。
不知还有没有其它证法呢？

Aluminiumor

来源公众号·陈嘉昊的数学自留地
2．设 $a, b, c, d \in(0,1)$，满足 $a^2+b^2+c^2+d^2=3$．证明： $\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+d}+\frac{1-c^2}{d+a}+\frac{1-d^2}{a+b}<\frac{2}{3}$．
解答：设 $x=1-a^2, y=1-b^2, z=1-c^2, w=1-d^2$，则 $x+y+z+w=1$．注意到 $\sqrt{1-y}+\sqrt{1-z}>\sqrt{1-y-z}+1 \Leftrightarrow 2 \sqrt{(1-y)(1-z)}>2 \sqrt{1-y-z}$成立，从而
\[
\frac{1-a^2}{b+c}=\frac{x}{\sqrt{1-y}+\sqrt{1-z}}<\frac{x}{\sqrt{1-y-z}+1}=\frac{x}{\sqrt{x+w}+1}<\frac{x}{\sqrt{x}+1} .
\]
设 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x}+1}$，则
\[
f''(x)=-\frac{1}{2(1+\sqrt{x})^2 \sqrt{x}}-\frac{1-x}{(1+\sqrt{x})^4 \sqrt{x}}<0
\]
即 $f$ 在 $(0,1)$ 上为上凸函数，从而
\[
\sum_{c y c} \frac{1-a^2}{b+c}<\sum_{c y c} \frac{x}{\sqrt{x}+1} \leq 4 f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{3} .
\]

Aluminiumor

来源:公众号“恩次方根”
设 $a, b, c, d \in(0,1)$ ，满足 $a^2+b^2+c^2+d^2=3$．求证：
\[
\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+d}+\frac{1-c^2}{d+a}+\frac{1-d^2}{a+b}<\frac{2}{3}
\]
这题我没想到将分母的 $a+b$ 直接放成 $a^2+b^2$ ，而是先用
\[
\frac{4}{a+b} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}
\]
作了分离，反而得到了一个更强的结果：
证明
\begin{aligned}
& 4 \sum_{c y c} \frac{1-a^2}{b+c} \leq \sum_{c y c}\left(1-a^2\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2 \sum_a \frac{1}{a}-\sum_{c y c} \frac{c^2+d^2}{a}=\sum_{c y c} \frac{2-c^2-d^2}{a} \\
= & \sum_{c y c} \frac{a^2+b^2-1}{a}=\sum a-\sum_{c y c} \frac{1-b^2}{a}<\sqrt{4 \sum a^2}-\sum\left(1-a^2\right)=2 \sqrt{3}-1<\frac{8}{3}
\end{aligned}