两个多项式差的首项

hbghlyj

定义多项式序列$\{P_n(x)\},\{Q_n(x)\}$
$$
\cases{P_0(x)=x\\
Q_0(x)=1}\qquad
\cases{P_{n+1}(x)=P_n(x-1)\cdot Q_n(x+1)\\
Q_{n+1}(x)=P_n(x+1)\cdot Q_n(x-1)}
$$证明：
对于所有 $ n \geq 1 $，$ Q_n(x) - P_n(x) $ 的首项是 $ 2^n \cdot (n-1)! \cdot x^n $。