$(X^2-2)(X^2-17)(X^2-34)$ mod任何$p^k$有根

hbghlyj

任何$p^k$，证明 $(X^2-2)(X^2-17)(X^2-34)\equiv0\mod p^k$有解。

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以下是分解。可以看到都有一次因式

GF(2)	X^4 (X + 1)^2
GF(3)	(X + 1) (X + 2) (X^2 + 1)^2
GF(5)	(X + 2) (X + 3) (X^2 + 3)^2
GF(7)	(X + 3) (X + 4) (X^2 + 1) (X^2 + 4)
GF(11)	(X + 1) (X + 10) (X^2 + 5) (X^2 + 9)
GF(13)	(X + 2) (X + 11) (X^2 + 5) (X^2 + 11)
GF(17)	X^4 (X + 6) (X + 11)
GF(19)	(X + 6) (X + 13) (X^2 + 4) (X^2 + 17)
GF(23)	(X + 5) (X + 18) (X^2 + 6) (X^2 + 12)
GF(29)	(X + 11) (X + 18) (X^2 + 12) (X^2 + 27)
GF(31)	(X + 8) (X + 23) (X^2 + 14) (X^2 + 28)
GF(37)	(X + 16) (X + 21) (X^2 + 20) (X^2 + 35)
GF(41)	(X + 17) (X + 24) (X^2 + 7) (X^2 + 24)
GF(43)	(X + 19) (X + 24) (X^2 + 9) (X^2 + 41)
GF(47)	(X + 7) (X + 8) (X + 9) (X + 38) (X + 39) (X + 40)
GF(53)	(X + 21) (X + 32) (X^2 + 19) (X^2 + 51)
GF(59)	(X + 28) (X + 31) (X^2 + 25) (X^2 + 57)
GF(61)	(X + 20) (X + 41) (X^2 + 44) (X^2 + 59)
GF(67)	(X + 33) (X + 34) (X^2 + 33) (X^2 + 65)
GF(71)	(X + 12) (X + 59) (X^2 + 37) (X^2 + 54)
GF(73)	(X + 32) (X + 41) (X^2 + 39) (X^2 + 56)
GF(79)	(X + 9) (X + 70) (X^2 + 45) (X^2 + 62)
GF(83)	(X + 10) (X + 73) (X^2 + 49) (X^2 + 81)
GF(89)	(X + 25) (X + 27) (X + 37) (X + 52) (X + 62) (X + 64)
GF(97)	(X + 14) (X + 83) (X^2 + 63) (X^2 + 80)
GF(101)	(X + 44) (X + 57) (X^2 + 67) (X^2 + 99)
GF(103)	(X + 29) (X + 31) (X + 38) (X + 65) (X + 72) (X + 74)
GF(107)	(X + 26) (X + 81) (X^2 + 90) (X^2 + 105)
GF(109)	(X + 19) (X + 90) (X^2 + 92) (X^2 + 107)
GF(113)	(X + 51) (X + 62) (X^2 + 79) (X^2 + 96)
GF(127)	(X + 12) (X + 16) (X + 62) (X + 65) (X + 111) (X + 115)
GF(131)	(X + 54) (X + 77) (X^2 + 114) (X^2 + 129)
GF(137)	(X + 31) (X + 47) (X + 50) (X + 87) (X + 90) (X + 106)
GF(139)	(X + 27) (X + 112) (X^2 + 122) (X^2 + 137)
GF(149)	(X + 49) (X + 100) (X^2 + 115) (X^2 + 147)
GF(151)	(X + 35) (X + 46) (X + 51) (X + 100) (X + 105) (X + 116)
GF(157)	(X + 71) (X + 86) (X^2 + 123) (X^2 + 155)
GF(163)	(X + 69) (X + 94) (X^2 + 146) (X^2 + 161)
GF(167)	(X + 13) (X + 154) (X^2 + 133) (X^2 + 150)
GF(173)	(X + 42) (X + 131) (X^2 + 156) (X^2 + 171)
GF(179)	(X + 14) (X + 165) (X^2 + 145) (X^2 + 177)
GF(181)	(X + 45) (X + 136) (X^2 + 164) (X^2 + 179)
GF(191)	(X + 15) (X + 50) (X + 57) (X + 134) (X + 141) (X + 176)
GF(193)	(X + 52) (X + 141) (X^2 + 159) (X^2 + 176)
GF(197)	(X + 25) (X + 172) (X^2 + 180) (X^2 + 195)
GF(199)	(X + 20) (X + 179) (X^2 + 165) (X^2 + 182)

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违反 Hasse 原则