请教一道代数最值的概率题

snowblink

已知$T=\left \{ \left ( x_{1}，x_{2}，\cdots ，x_{n}  \right )| x_{i}=0 \text{或} 1，i=1，2，\cdots ，n \right \} $，定义$\vec{a} + \vec{b} = \left ( a_{1} + b_{1} ，a_{2} + b_{2} ，\cdots ，a_{n} + b_{n}\right ) $，$\vec{a} - \vec{b} = \left ( a_{1} - b_{1} ，a_{2} - b_{2} ，\cdots ，a_{n} - b_{n}\right ) $，$\left | \vec{a}  \right | =\sum_{i=1}^{n} \left | a_{i}  \right |$，随机从$T$中抽取$\vec{a}，\vec{b}$（可相同），则$\left |\vec{a} - \vec{b}  \right |+\left |\vec{a} + \vec{b}  \right |$取到最大值的概率为？
答案为$\left ( \dfrac{3}{4}  \right ) ^{n} $

kuing

易证对任意 `x`, `y\inR` 有 `\abs{x-y}+\abs{x+y}=2\max\{\abs x,\abs y\}`，依题设定义，有
\[\bigl|\vec a-\vec b\bigr|+\bigl|\vec a+\vec b\bigr|=\sum_{i=1}^n(\abs{a_i-b_i}+\abs{a_i+b_i})=2\sum_{i=1}^n\max\{\abs{a_i},\abs{b_i}\},\]
因此，要取到最大值，必须确保对于每个 `i`，都有 `a_i`, `b_i` 至少一个是 `1`，此概率是 `3/4`，现在 `i` 由 `1` 取到 `n`，则乘法原理，答案自然就是 `(3/4)^n`。