三角形中的求值

lemondian

已知$\triangle ABC$的三边分别为$a,b,c$，面积为$S$，三个内角分别为$\dfrac{\pi}{7},\dfrac{2\pi}{7},\dfrac{4\pi}{7}$，求$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$的值。

kuing

由余弦定理及面积公式有
\[\frac{\sum a^2}{4S}=\frac{\sum(b^2+c^2-a^2)}{4S}=\frac{\sum2bc\cos A}{\frac{abc}R}=\sum\frac{2R\cos A}a=\sum\cot A,\]
记 `f=\sum\cot A`，则由恒等式 `\sum\cot A\cot B=1` 得
\[f^2=2+\sum\cot^2A=2+\cot^2\frac\pi7+\cot^2\frac{2\pi}7+\cot^2\frac{4\pi}7,\]
根据之前这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4148 里面得到的恒等式
\[\sum_{k=1}^n\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}
=\frac{C_{2n+1}^3}{C_{2n+1}^1}=\frac{n(2n-1)}3,\]
取 `n=3` 即得
\[\cot^2\frac\pi7+\cot^2\frac{2\pi}7+\cot^2\frac{3\pi}7=5,\]
而 `\cot^2(3\pi/7)=\cot^2(4\pi/7)`，所以代入前面就得到 `f^2=2+5`，即答案为 `\sqrt7`。