椭圆结论$\frac{1}{OP^2}+\frac{1}{OQ^2}$等于定值的代数证明

郝酒

RT，椭圆上两点$P,Q$满足$OP\bot OQ$，则$\frac{1}{OP^2}+\frac{1}{OQ^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$，用中心是极点的极坐标可以很容易证明，代数上有没有好的看的方式呢？感觉应该是等价的，卡住了.
即$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1,x_1x_2+y_1y_2=0$，求证$\frac{1}{x_1^2+y_1^2}+\frac{1}{x_2^2+y_2^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$.

kuing

只需证明如下命题：若
\[\led
am+bn&=1,&(1)\\
ap+bq&=1,&(2)\\
mp&=nq,&(3)
\endled\]
则有
\[\frac1{m+n}+\frac1{p+q}=a+b.\]

证明：由式 (1), (3) 易得
\[m=\frac q{aq+bp},~n=\frac p{aq+bp},\]
所以
\[\frac1{m+n}=\frac{aq+bp}{p+q},\]
由式 (2) 得
\[\frac1{p+q}=\frac{ap+bq}{p+q},\]
所以
\[\frac1{m+n}+\frac1{p+q}=\frac{aq+bp+ap+bq}{p+q}=a+b.\]

郝酒

谢谢ku版