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本帖最后由 kuing 于 2024-12-2 00:42 编辑 不知道应该选哪个分类合适。
题目：若 `\cos(2^n\alpha)<0` 对所有 `n\inN` 恒成立，问：实数 `\alpha` 的所有可能值。
思考很久，突然想到，既然是二倍角递增，那不如用二进制来看吧，这样 `{}\div/\times2` 就是小数点左右移。
但是表达起来还是不知咋说才好，我尽量写清楚，各位如果有更好的表达方式请指点一下。
解：只需考虑 `\alpha>0` 的情形，设 `\alpha=x\pi`，则
\[\cos(x\pi)<0\iff2k+\frac12<x<2k+\frac32,\quad k\inN,\]
以下用下标 `{}_{(2)}` 表示该数是二制进形式。
将上式的两个分数写成二制进小数形式，就是
\[2k+0.1_{(2)}<x<2k+1.1_{(2)},\]
而 `2k` 的二制进就是个位为 `0` 的整数，因此满足上述不等式的 `x` 的二进制形式只有两种情况：
`{*}{*}{*}0.1{*}{*}{*}_{(2)}` 或者 `{*}{*}{*}1.0{*}{*}{*}_{(2)}`（这里 `{*}{*}{*}` 表示任意多位不确定的 `0` 或 `1`），即
\[\cos(x\pi)<0\iff x={*}{*}{*}0.1{*}{*}{*}_{(2)}~\text{或者}~{*}{*}{*}1.0{*}{*}{*}_{(2)},\]
于是
\begin{align*}
\cos(2x\pi)<0&\iff2x={*}{*}{*}0.1{*}{*}{*}_{(2)}~\text{或者}~{*}{*}{*}1.0{*}{*}{*}_{(2)}\\
&\iff x={*}{*}{*}.01{*}{*}{*}_{(2)}~\text{或者}~{*}{*}{*}.10{*}{*}{*}_{(2)},
\end{align*}
要同时满足以上两式，那 `x` 只能是 `{*}{*}{*}0.10{*}{*}{*}_{(2)}` 或者 `{*}{*}{*}1.01{*}{*}{*}_{(2)}`，继续下去
\begin{align*}
\cos(4x\pi)<0&\iff4x={*}{*}{*}0.1{*}{*}{*}_{(2)}~\text{或者}~{*}{*}{*}1.0{*}{*}{*}_{(2)}\\
&\iff x={*}{*}{*}.{*}01{*}{*}{*}_{(2)}~\text{或者}~{*}{*}{*}.{*}10{*}{*}{*}_{(2)},
\end{align*}
再结合前面的，那 `x` 只能是 `{*}{*}{*}0.101{*}{*}{*}_{(2)}` 或者 `{*}{*}{*}1.010{*}{*}{*}_{(2)}`。
如此类推，最终就得出
\[x={*}{*}{*}0.1010101\ldots_{(2)}~\text{或者}~{*}{*}{*}1.0101010\ldots_{(2)},\]
写回十进制就是
\[x=2k+\frac23~\text{或者}~2k+\frac43,\quad k\inN,\]
回到 `\alpha` 上，再结合负的，可知 `\alpha` 的所有可能值就是
\[2k\pi\pm\frac23\pi,\quad k\inZ.\] |
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