2021年新高考全国卷2第12题 二进制 恒等式多选

isee

设正整数 \(n=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2+\cdots +a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k\) ，其中 \(a_i\in \{0,1\}\) ，
记 \(\omega (n)=a_0+a_1+\cdots +a_k\) ．则（    ）

A．\(\omega (2n)=\omega (n)\)                 B．\(\omega (2n+3)=\omega (n)+1\)
C．\(\omega (8n+5)=\omega (4n+3)\)     D．\(\omega \left( 2^n-1 \right)=n\)


没太看懂题，先丢上来，且分类为函数，先

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果然是个数论题，少见少见

答案: ACD

kuing

选数论可能好一点，毕竟这显然是玩二进制。
ω 就是各位数字之和，那么一眼看下去 D 是最容易判断的，也是对的，因为此时就是 `11\ldots1_2` 嘛。
如果不是多选题，这题就这样秒了。
如果是多选题，那就再说吧……

isee

回复 2# kuing


      喔对，二进制；是多选题。。。。

kuing

回复 3# isee

嗯，刚才太懒根本不想想……
其实 A 也容易判断对，因为二进制乘 2 就好比十进制乘 10，就是添个零，数字之和当然不变；
B 反例 n=2；
C 由 A 成立得 ω(4n+3)=ω(8n+6)，由于 `8=1000_2`, `6=110_2`，故 8n+6 的最后三位一定是 110，减 1 变成 101，数字之和不变，所以 ω(8n+6)=ω(8n+5)，即 C 正确。

isee

果然是个二制度的抽象表述

其妙

这里也有研究：mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==&mid=2247490194& ... 04&lang=zh_CN#rd