乙卷部分题

力工

2023年乙卷部分题，叙述简洁，感觉不错。
先录一个：已知$f(x)=a^x+(1+a)^x,0<a<1$在区间$(0,\infty )$上递增，则$a$的范围是_________。

1．【2023 全国乙卷 11 题】已知 $A, B$ 是双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点，则可以作为 $A, B$ 中点的是 $(\quad)$
A．$(1,1)$
B．$(-1,2)$
C．$(1,3)$
D．$(-1,-4)$
2．【2023 全国乙卷 16 题】 $f(x)=a^x+(1+a)^x, a \in(0,1)$ ，若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 为增函数，则实数 $a$ 的取值范围为 $\qquad$ ．

3．【2023 全国乙卷 17 题】在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=120^{\circ}, A B=2, A C=1$ ．
（1）求 $\sin \angle A B C$ ；
（2）若 $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\angle B A D=90^{\circ}$ ．求 $\triangle B A D$ 的面积
4．【2023 全国乙卷 20 题】已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，曲线 $C$ 过点 A（ $-2,0$ ）．
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）过点 $(-2,3)$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 于 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点，求证：$M N$ 中点为定点

5．【2023 全国乙卷 21 题】函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \cdot \ln (1+x)$
（1）若 $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于 $x=b$ 对称，求 $a, b$ ．
（2）若 $f(x)$ 有极值点，求 $a$ 的取值范围。

爪机专用

单调性这个简单呀，由于指数函数一定是下凸函数，所以 `f` 下凸，那么在 `(0,\infty)` 递增当且仅当 `f'(0)\geqslant0`

kuing

双曲线那道，能作为中点的区域是不是以下的：

（不包括双曲线本身以及渐近线，但包括原点）

力工

爪机专用 发表于 2023-6-8 10:23
单调性这个简单呀，由于指数函数一定是下凸函数，所以 `f` 下凸，那么在 `(0,\infty)` 递增当且仅当 `f'(0) ...

改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

Czhang271828

力工 发表于 2023-6-8 22:40
改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

盲猜 $(0,0.5)\cup(0.5,1)$. 分类讨论好繁, 不知道有无快点的方法

战巡

强行求导也不难啊
\[f'(x)=\ln(a)a^x+\ln(1+a)(1+a)^x\ge 0\]
\[-\ln(a)\le(\frac{1}{a}+1)^x\ln(1+a)\]
显然$\frac{1}{a}+1>1$，因此必须有
\[-\ln(a)\le\ln(1+a)\]

战巡

力工 发表于 2023-6-8 22:40
改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

在$0<a<1$内是不可能有$f(x)=1$的，这个成立的范围是$a>1$
你要改成$f(x)=2$，那还有的掰扯

Czhang271828

力工 发表于 2023-6-8 22:40
改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

原来你指的是上方文字？我以为图片里的 f(x)😂