乙卷部分题

力工

2023年乙卷部分题，叙述简洁，感觉不错。
先录一个：已知$f(x)=a^x+(1+a)^x,0<a<1$在区间$(0,\infty )$上递增，则$a$的范围是_________。

爪机专用

单调性这个简单呀，由于指数函数一定是下凸函数，所以 `f` 下凸，那么在 `(0,\infty)` 递增当且仅当 `f'(0)\geqslant0`

kuing

双曲线那道，能作为中点的区域是不是以下的：

（不包括双曲线本身以及渐近线，但包括原点）

力工

爪机专用 发表于 2023-6-8 10:23
单调性这个简单呀，由于指数函数一定是下凸函数，所以 `f` 下凸，那么在 `(0,\infty)` 递增当且仅当 `f'(0) ...

改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

Czhang271828

力工 发表于 2023-6-8 22:40
改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

盲猜 $(0,0.5)\cup(0.5,1)$. 分类讨论好繁, 不知道有无快点的方法

战巡

强行求导也不难啊
\[f'(x)=\ln(a)a^x+\ln(1+a)(1+a)^x\ge 0\]
\[-\ln(a)\le(\frac{1}{a}+1)^x\ln(1+a)\]
显然$\frac{1}{a}+1>1$，因此必须有
\[-\ln(a)\le\ln(1+a)\]

战巡

力工 发表于 2023-6-8 22:40
改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

在$0<a<1$内是不可能有$f(x)=1$的，这个成立的范围是$a>1$
你要改成$f(x)=2$，那还有的掰扯

Czhang271828

力工 发表于 2023-6-8 22:40
改成：$f(x)-1$只有一个零点，求$a$的范围呢？

原来你指的是上方文字？我以为图片里的 f(x)😂