本帖最后由 Czhang271828 于 2023-6-12 14:15 编辑
题: 求证
\[
\dfrac{5}{6}<\ln (n!)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\ln n+n\leq 1.
\]
---------------------------原题---------------------------
$\mathrm{(20)}\quad $ 已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)\ln (x+1)$.
- 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率;
- 当 $x>0$ 时, 证明: $f(x)>1$;
- 证明: $\dfrac{5}{6}<\ln (n!)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\ln n+n\leq 1$.
---------------------------Stirling 逼近---------------------------
常用的 Stirling 逼近:
\[
\sqrt{2\pi n}\cdot \left(\frac ne\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}< n!< {\sqrt{2\pi n}} \left(\frac ne\right)^{n}e^{\frac{1}{12n}}.
\]
天津卷给出的较为宽泛的逼近:
\[
e^{5/6}\sqrt n\cdot \left(\dfrac{n}{e}\right)^n< n!< e\sqrt n\cdot \left(\dfrac{n}{e}\right)^n.
\]
又: 数学分析原理 (Rudin) 中类似题目(P200-T20)
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isee
发表于 2023-6-10 20:38
