抽象函数的解析式

力工

这是今年1卷的选择题，想知道如何 求解析式，谢谢！
已知函数$f(x)$的定义域为$R$,且$f(xy)=x^2f(y)+y^2f(x)$,求$f(x)$的解析式。

kuing

解析式是不确定的，可以是那种变态函数。

易知 `f(0)=f(\pm1)=0` 且 `f(x)` 是偶函数，故只需考虑 `x>0` 的情况。

令 `f(x)=x^2g(x)`，变成 `g(xy)=g(x)+g(y)`，再令 `h(x)=g(e^x)`，则 `h(x+y)=h(x)+h(y)`，也就是著名的柯西方程，在承认选择公理的前提下，它有非连续解。

力工

平凡点的可以直接给出，如$f(x)=0$,还应该有这样的，可是本人脑力有限。
如果认为$f(x)$是可导函数,那可以写出几个函数？继续期待各位大佬出手。

kuing

如果限制为连续，那 2# 最后的 `h` 就只能是 `h(x)=kx` 啦，于是 `g(x)=k\ln x`，`f(x)=kx^2\ln x`，最后要偶函数加个绝对值及补上原点，就是
\[f(x)=\led
&kx^2\ln\abs x,&&x\ne0,\\
&0,&&x=0.
\endled\]