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柯西函數方程是$f(x+y)=f(x)+f(y)$
此方程的解被稱為加性函數。
在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為$ f(x)=cx\ $，其中$ c $任意給定的有理數。
在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：
- 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
- 若 f 在任一個區間上是單調的
- 若 f 在任一個區間上是有界的
另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾使用基的概念證明。
希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。
存在實數$ c\ $使得$ f(cx)\neq cf(x)\ $的解稱為柯西─哈默方程（英語：Cauchy-Hamel function(s)）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（英語：Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。[1]
在有理數集下的證明
先設$ y=0\ $，得到：
$ f(x+0)=f(x)+f(0)\ $
$ f(0)=0\ $
再設$ y=-x\ $：
$ f(x-x)=f(x)+f(-x)\ $
$ f(-x)=-f(x)\ $
反覆設$ y=x\ $、$ y=2x\ $、...、$ y=x+x+\cdots +x $，可以得到
$ f(mx)=mf(x)\ $...(1)
設$ x={\frac {y}{n}} $並代入(1)式得到：
$ f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ $
或者$ f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\ $...(2)
對於任意有理數$ {\frac {m}{n}} $，設$ y={\frac {m}{n}}x $，根據(1)、(2)兩式可知：
$ f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ $
上式又可改寫為
$ f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ $
令$ \alpha =1\ $就可以得到在有理數下的唯一解。
其他解的性質
以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形$ y=f(x)\ $在$ \mathbb {R} ^{2} $中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。
不失一般性，假設解f滿足$ f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q} $，且能找到實數$ \alpha \in \mathbb {R} $滿足$ f(\alpha )\neq \alpha $，同時設$ f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0 $
任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點$ (x,y) $為圓心，其中滿足$ x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y $。令實數$ r>0 $為半徑的$ {\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}} $倍，即半徑為$ {\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}} $。
令$ \beta ={\frac {y-x}{\delta }} $，存在一個有理數$ b\neq 0 $滿足：
$ \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}} $
類似地，存在一個有理數$ a $使得：
$ \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}} $
設實數X,Y滿足：
$ X=x+b(\alpha -a)\ $
$ Y=f(X)\ $
從原方程和以上的關係式可以得知：
$ Y=f(x+b(\alpha -a))\ $
$ =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ $
$ =x+bf(\alpha )-bf(a)\ $
$ =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ $
$ =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ $
由以上關係式可知$ \left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r $
∴$ (X,Y)\ $在指定的小圓內，
於是$ (X,Y)\ $在原本較大的圓內；
即在$ \mathbb {R} ^{2} $中任意給定的圓內皆包含$ y=f(x)\ $圖形的一點；
即$ y=f(x)\ $的圖形在$ \mathbb {R} ^{2} $中稠密，得證。
另一方法：如f 不是线性函数，存在$ U=(u,f(u)),V=(v,f(v)) $在$ \mathbb {R} ^{2} $独立。任取$ X\in \mathbb {R} ^{2} $, $ X=\alpha U+\beta V $, $ \alpha $和$ \beta $是有理数序列的极限, $ X $是f 的图形的聚点。
其他解的形式與證明
與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合$ \alpha \mathbb {Q} $上也成立，其中$ \alpha \in \mathbb {R} $（表示所有有理數乘上$ \alpha \ $的積的集合，以下亦同）
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。
在承認選擇公理的前提下，在$ \mathbb {Q} $上存在一個$ \mathbb {R} $的基底，也就是這樣的集合： $ A\subset \mathbb {R} $，使得對於任何實數$ x\ $，存在唯一的有限集合 $ \left\{a_{1},\dots ,a_{n}\right\}\subset A $ 以及唯一對應的 $ n $ 個有理數$ \left\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right\} $，滿足：
$ x=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}} $
設想函數方程在實數集的子集$ x\mathbb {Q} ,x\in A $上成立，即滿足$ f(y)=g(x)\,y $，其中 $ y $ 是 $ x $ 的有理數倍。 運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：
$ f(x)=\sum _{i=1}^{n}{g(a_{i})\lambda _{i}a_{i}} $
對於所有$ g:A\rightarrow \mathbb {R} $，以上$ f(x) $ 是函數方程的解。其中$ f $ 為線性的充要條件是 $ g $是常數函數。 |
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hbghlyj
Posted 2025-4-14 21:00
，能不能写写，或者写写初等解法，谢谢