函数中心对称点

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源自知乎提问



题：f（2-x）关于（3，0）对称，f（x）关于哪个点对称

命题：定义在 R 上的函数 $f(x)$ 若有中心对称点 $Q(m,n)$ 则有 $f(2m-x)+f(x)=2n$ ，反之亦成立.

简证：中心对称点 $Q(m,n)$ $\color{red}{\Rightarrow} $ $f(2m-x)+f(x)=2n.$

因为 $Q$ 是 f(x) 的对称中心，设 $f(x)$ 上的任一点 $A(x,y)$ 则 A 关于点 $Q(m,n)$ 对称点为 $A'(2m-x,2n-y)$ ，点 $A'$ 亦在曲线 $f(x)$ 上，即有 \[f(2m-x)=2n-y=2n-f(x).\] 移项整理即证.

反之，中心对称点 $Q(m,n)$ $\color{red}{\Leftarrow} $ $f(2m-x)+f(x)=2n.$

对曲线 $f(x)$ 上的任一点 $(x,y)$ 有 $f(x)=y$ ，于是由已知有 \[f(2m-x)=2n-f(x)=2n-y,\] 这表明点 $(2m-x,2n-y)$ 亦在曲线 $f(x)$ 上，而这两点 $(x,y)$ ，$(2m-x,2n-y)$ 关于点 $Q(m,n)$ 中心对称，由点的任意性，知 $f(x)$ 有对称中心 $Q(m,n).$

在恒等式 $f(2m-x)+f(x)=2n$ 中用 $m+x$ 替换 $x$ 就得到了等价形式 \[f(m-x)+f(m+x)=2n.\]

再由 $f(x)$ 的定义域是 R，则知 $f(2m-m)+f(m)=2n$ 即 $f(m)=n$ ，这表明点 Q 亦在曲线 $f(x)$ 上.

回到题主所问，设 $\color{blue}{g(x)=f(2-x)}$ 的对称中心为 $(3，0)$ 即有 \[g(3-x)+g(3+x)=0\Rightarrow f(-1+x)+f(-1-x)=0,\] 所以 $f(x)$ 的对称中心为 $(-1,0)$.

若 f(x) 定义在 R 上，还会有 f(-1)=g(3)=0，胆子大的话，直接猜 f 关于 (-1,0) 对称.