一道抽象函数问题

aishuxue

设定义在 R 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y) f(x-y)=f^2(x)-f^2(y)$，且 $f(1) \neq 0$，则下列说法正确的是（）

• $f(x)$ 为奇函数
• $f(x)$ 的解析式唯一
• 若 $f(x)$ 是周期为 T 的函数，则 $T \neq 1$
• 若 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ，则 $f(x)$ 是 R 上的增函数

isee

存在 $f(x)=\sin x$，加个倍数也可以

aishuxue

选项A严格的证明不会

kuing

令 `y=0` 得 `f(0)=0`，令 `x=0` 得 `f(y)f(-y)=-f(y)^2` 即
\[f(y)\bigl(f(y)+f(-y)\bigr)=0,\]
将上式的 `y` 变成 `-y` 又得
\[f(-y)\bigl(f(y)+f(-y)\bigr)=0,\]
假如存在某个 `y_0` 满足 `f(y_0)+f(-y_0)\ne0`，那只能 `f(y_0)=0` 且 `f(-y_0)=0`，这就矛盾了，所以对任意 `y` 都恒有 `f(y)+f(-y)=0`，所以是奇函数，A 对；

B 错楼上已解释；

由 `f(1)\ne0=f(0)` 可知 C 对；

最后证明 D 正确：
当 `x>y\geqslant0` 时，有 `f(x)^2-f(y)^2=f(x+y)f(x-y)>0` 且 `f(x)`, `f(y)` 都非负，所以 `f(x)>f(y)`，即 `f(x)` 在 `[0,+\infty)` 上递增，再由奇函数知在 `(-\infty,0]` 上也递增，所以在 `\Bbb R` 上递增。

aishuxue

我再消化消化。

aishuxue

谢谢kuing，辛苦了。

敬畏数学

kuing 发表于 2022-9-12 00:42
令 `y=0` 得 `f(0)=0`，令 `x=0` 得 `f(y)f(-y)=-f(y)^2` 即
\[f(y)\bigl(f(y)+f(-y)\bigr)=0,\]
将上式的  ...

学习了。