抽象函数的单调性证明(如何用高中知识证明)

aishuxue

已知函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x, y \in \mathbf{R}, x f(y)+y f(x)=f(x y)$，且当 $0<x<1$ 时，$f(x)>0$．下列说法正确的是
A．$f(0)+f(1)=0$
B．$f(x)$ 为偶函数
C．当 $|x|>1$ 时，$x f(x)<0$
D．$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减

aishuxue

本题是2025年3月19号南京二模试卷，其中D选项如何用高中知识证明？

kuing

令 `x=y=0` 知 `f(0)=0`，令 `x=y=1` 知 `f(1)=0`，A 对；

令 `x=y=-1` 知 `f(-1)=0`，令 `y=-1` 知 `-f(x)=f(-x)`，所以是奇函数，B 错；

当 `xy\ne0` 时，令 `g(x)=f(x)/x`，则 `g(x)+g(y)=g(xy)`，令 `y=1/x`，则 `g(x)+g(1/x)=0`，
当 `x>1` 时，由条件知 `g(1/x)>0`，则 `g(x)<0`，故 `xf(x)<0`，而 `xf(x)` 为偶函数，所以 `x<-1` 时也有 `xf(x)<0`，C 对；

当 `1<x<y` 时，有
\begin{align*}
f(x)-f(y)&=xg(x)-yg(y)\\
&=xg(x)-yg\left(x\cdot\frac yx\right)\\
&=xg(x)-y\left(g(x)+g\left(\frac yx\right)\right)\\
&=(x-y)g(x)-yg\left(\frac yx\right),
\end{align*}
由 C 的证明知当 `x>1` 时 `g(x)<0`，由 `y/x>1` 有 `g(y/x)<0`，由此可见上式为正，即 `f(x)>f(y)`，所以 D 正确。

aishuxue

kuing 发表于 2025-3-21 14:44
令 `x=y=0` 知 `f(0)=0`，令 `x=y=1` 知 `f(1)=0`，A 对；

令 `x=y=-1` 知 `f(-1)=0`，令 `y=-1` 知 `-f(x ...

谢谢，搞懂了！！

isee

aishuxue 发表于 2025-3-21 09:29
已知函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x, y \in \mathbf{R}, x f(y)+y f(x)=f(x y)$，且当 $0<x<1$ 时，$f(x)>0$ ...

不严谨的，取\[f(x)=-x\ln \left|x\right|,\] 就知道选 ACD了.

kuing

这题也确实可以证明 `f(x)` 只能是 `cx\ln\abs x`（`c<0`）的形式，不存在变态解