$a$的取值范围

极光永明

题目：

设$a\in\mathbb{R}$，若存在定义域为$\mathbb{R}$的函数$f\left(x\right)$同时满足下列两个条件：
（1）对任意的$x_0\in\mathbb{R}$，$f\left(x\right)$的值为$x_0$或${x_0}^2$；
（2）关于$x$的方程$f\left(x\right)=a$无实数解，则$a$的取值范围是_____.

答案是$\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$，解析给出的解释是“$f\left(0\right)=0$或$f\left(1\right)=1$，因此$a\neq 0,1$”. 这一结论是如何得出的？

kuing

当条件（1）中的 `x_0` 取 `0` 时由于 `x_0` 和 `x_0^2` 都为零，所以 `f(0)=0` 是可以确定的，同理 `f(1)=1` 也是确定的，而其他的函数值均有两个不同的值可以选择，那么对于不等于 0 和 1 的 `a` 来说 `f(x)` 总可以绕开它。

极光永明

kuing 发表于 2023-2-4 15:59
当条件（1）中的 `x_0` 取 `0` 时由于 `x_0` 和 `x_0^2` 都为零，所以 `f(0)=0` 是可以确定的，同理 `f(1)= ...

明白了，意思就是：$\forall a\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right),\ \exists f\left(x\right)\ s.t.(1)\&\&(2)$.