轨迹长度

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2025届广州一模填空压轴，反观此题反而可以暴力求解
在正三棱锥 $P{-}A B C$ 中，$P A=P B=P C=3 \sqrt{2}, A B=6$，点 $D$ 在 $\triangle A B C$ 内部运动（包括边界），点 $D$ 到棱 $P A, P B, P C$ 的距离分别记为 $d_1, d_2, d_3$，且 $d_1^2+d_2^2+d_3^2=20$，则点 $D$ 运动路径的长度为   

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不用暴力的

易知这是一个直角四面体，可以以 `PA`, `PB`, `PC` 所在直线分别为 `x`, `y`, `z` 轴建系，设 `D(x,y,z)`，则 `d_1^2=y^2+z^2`, `d_2^2=z^2+x^2`, `d_3^2=x^2+y^2`，故 `x^2+y^2+z^2=10`，这是以原点为球心，半径为 `\sqrt{10}` 的球，因此 `D` 的路径就是该球与底面三角形的交线。

易知底面 `ABC` 上的高为 `\sqrt6`，故球与平面 `ABC` 的交线圆的半径为 `\sqrt{10-6}=2`，交线圆的圆心即 `\triangle ABC` 的中心，该圆心与三边的距离仅为 `\sqrt3`，小于 `2`，那就是球与底面三角形的交线被分成三段：

幸好，容易知道圆上六个交点恰将圆六等分，因此所求的路径长度为圆周长一半，所以答案就是 `2\pi`。