立体几何一题 最大值的最小值

溦澜居士

在棱长为 4 的正四面体 $A B C D$ 中，$A B \px$ 平面 $\alpha$，且点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 7，点 $M, N$分别在以 $C, D$ 为球心半径为 1 的球面上运动，$M, N$ 两点关于 $C D$ 的中点 $O$ 对称．已知 $\max \{a, b\}$ 表示 $a, b$ 中的最大数，记点 $M, N$ 到平面 $\alpha$ 的距离分别为 $h_1, h_2$，则 $\max \left\{h_1, h_2\right\}$ 的最小值为      

realnumber

填空我就猜CD,MN也平行面$\alpha$,且介于AB与面$\alpha$之间,此时$h_0=h_1=h_2=7-2\sqrt 2=$CD到$\alpha$距离
$2\sqrt 2$是ABCD补成正方体的棱长.

解答题,怎么证明是个问题,(线段MN,CD互相平分)M,N总是在过CD任意一个面的两侧,当CD平行面$\alpha$时,MN若不平行面$\alpha$,$h_1,h_2$有一个会大于$h_0$
若CD不平行$\alpha$,$h_1,h_2$有一个会大于$h_0$似乎也很显然,但能这么说吗?