反向粘合实心圆柱的顶、底部圆盘得到实心Klein瓶$\text{M}\ddot{\text o} \times I$

hbghlyj

就像torus $S^1\times S^1$是solid torus $S^1\times D^1$的边界一样，Klein瓶是实心Klein瓶的边界。

实心Klein瓶
$I=[0,1]$是区间。
黑点组成的圆圈$S^1 \times \{\frac12\}$是这个空间$\text{M}\ddot{\text o} \times I$的一个deformation retract，而它的任何邻域$\text{M}\ddot{\text o} \times [\frac12-\epsilon,\frac12+\epsilon]$的边界为Klein瓶，所以 $\text{M}\ddot{\text o} \times I$ 是Klein瓶的“洋葱”。

参见 J. Scott Carter 的《空间中曲面如何相交》，第 169 页

hbghlyj

考虑一个实心圆柱$D^2\times I$，粘合圆柱$D^2\times I$的顶部圆盘与底部圆盘，通过恒等变换$D^2\to D^2,x\mapsto x$，则得到一个solid torus $D^2\times S^1$.

换一种方式：math.stackexchange.com/questions/1445950/properties-of-a-closed-solid-klein-bottle
考虑一个实心圆柱$D^2\times I$，粘合圆柱$D^2\times I$的顶部圆盘与底部圆盘，通过径向对称$D^2\to D^2,x\mapsto -x$，则得到一个实心Klein瓶。