正方体的顶面和底面旋转1/4圈粘合

hbghlyj

Understanding the smoothness of the Poincaré homology sphere的回答中写道：

the cube, whose opposite faces can be identified (rigidly!)

正方体：
将正方体的顶面和底面旋转1/4圈粘合：

hbghlyj

用正方体的一个边，如果沿着曲面走，环绕4圈后回到原处。
将此示例与莫比乌斯带进行比较。莫比乌斯带的一个边，如果沿着它走，环绕2圈后回到原处。

hbghlyj

如果先将正方体的左面和右面、前面和后面粘合，再将正方体的顶面和底面旋转1/4圈粘合，得到一个torus bundle，相当于把图中的每个正方形截面换成torus

如果先将正方体的左面和右面、前面和后面粘合，再将正方体的顶面和底面粘合，得到3-torus，是平凡的torus bundle：

For example, if $f$ is the identity map (i.e., the map which fixes every point of the torus) then the resulting torus bundle
$M(f)$ is the three-torus: the Cartesian product of three circles.