环面的函数至少有4个驻点

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环面$M$参数化为$X(\theta,\phi)=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )$.
现在，通过任意光滑函数$ f:\mathbb R^3\to\mathbb R$可得$ G=f\circ X $.
求证$G$至少有4个驻点

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设 $f: \Bbb{T}^2 \to \Bbb{R}$ 为一个光滑映射。证明 $f$ 至少有 $4$ 个驻点。

这里找到的提示：使用角度 $\theta,\varphi$ 对 $\Bbb{T}^2$ 进行参数化，并在固定 $\varphi$ 时找到 $f(\theta, \varphi)$ 的最大值与最小值点，分别记为 $(\theta_{\text{max}}(\varphi), \varphi)$ 和 $(\theta_{\text{min}}(\varphi), \varphi)$；然后在随 $\varphi$ 变化时对 $f$ 进行最大化和最小化。

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按照提示：对于固定的 $\phi$，连续函数$$S^1\to \Bbb R\qquad\theta\mapsto f(\theta,\phi)$$存在极小值和极大值 $\theta_\min(\phi)$ 和 $\theta_\max(\phi)$ - 但它们对于变量 $\phi$ 并不是连续的！
我们仍然可以考虑 $f_\max\colon S^1\to\Bbb R$，$\phi\mapsto f(\theta_\max(\phi),\phi)$ 和类似的 $\min$。

$f_\min$ 和 $f_\max$ 是连续的，即使 $\theta_\min$ 和 $\theta_\max$ 不是。这通常给我们四个点：$f_\max$ 的极大值点，$f_\max$ 的极小值点，$f_\min$ 的极大值点，$f_\min$ 的极小值点。现在证明这四个点是驻点（因为它们在两个方向上都是如此）。

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