n个正方形循环贴在一起

hbghlyj

在$\mathbb{R}^2$可以4个正方形循环贴在一起。
在$\mathbb{H}^2$可以5个正方形循环贴在一起。
在$\mathbb{R}^3$是否可以5个正方形循环贴在一起？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-11-12 14:42
在$\mathbb{R}^3$是否可以5个正方形循环贴在一起？

1. Manipulate[Graphics3D[Table[Polygon[RotationTransform[2i Pi/5,{0,0,1}][RotationTransform[t,{0,1,0}][{{1/2,1/2,0},{0,0,0},{1/2,-(1/2),0},{1,0,0}}]]],{i,1,5}]],{t,0,Pi}]

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当$t=\cos^{-1}(\cot\frac{2\pi}5)$时可以循环贴在一起！但它是绕两圈的。

1. Graphics3D[Table[Polygon[RotationTransform[2i Pi/5,{0,0,1}][RotationTransform[ArcCos[Cot[2Pi/5]],{0,1,0}][{{1/2,1/2,0},{0,0,0},{1/2,-(1/2),0},{1,0,0}}]]],{i,1,5}]]

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上面是绕两圈的。能不能5个正方形循环贴在一起，只绕一圈？
其实很简单：

1. Graphics3D[{Polygon[{{0,0,0},{1/Sqrt[2],0,-1/Sqrt[2]},{Sqrt[2],0,0},{1/Sqrt[2],0,1/Sqrt[2]}}],RotationTransform[-3Pi/4,{0,1,0}][Polygon[{{0,-1,0},{-1,-1,0},{-1,0,0},{0,0,0}}]],RotationTransform[3Pi/4,{0,1,0}][Polygon[{{0,1,0},{-1,1,0},{-1,0,0},{0,0,0}}]],Polygon[{{0,1,0},{-1,1,0},{-1,0,0},{0,0,0}}],Polygon[{{0,-1,0},{-1,-1,0},{-1,0,0},{0,0,0}}]},Boxed->False]

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先取4个正方形在平面上循环贴在一起，把一个正方形上翘45度，把与它相邻的一个正方形下翘45度，在中间夹一个竖立的正方形。

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这个结构有两个自由参数

1. v1={1,0,0};
2. v2={0,1,0};
3. v3={Cos[t],0,Sin[t]};
4. v4={x4,y4,z4};
5. v5={0,y5,z5};
6. Solve[{v3.v4==v4.v5==v5.v1==0,v4.v4==v5.v5==1},{z4,y4,x5,y5,z5}]//FullSimplify

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有四组解。这个方程组有两个自由参数$t$和$x_4$.
给定$t$后，$x_4$的范围是$\abs{x_4}\le\abs{\sin t}$.

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1. Manipulate[Module[{v={{1,0,0},
2. {0,1,0},
3. {Cos[t],0,Sin[t]},
4. {x4,-(Sqrt[Sin[t]^2-x4^2]/ Sin[t]),-x4 Cot[t]},
5. {0,(x4 Cos[t])/( Sin[t]Sqrt[1-x4^2]),-(Sqrt[Sin[t]^2-x4^2]/(Sin[t]Sqrt[1-x4^2]))},{1,0,0}}},Graphics3D[Table[Polygon[{{0,0,0},v[[i]],v[[i]]+v[[i+1]],v[[i+1]]}],{i,5}]]],{t,0,Pi},{x4,-Sin[t],Sin[t]}]

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