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楼主 |
isee
发表于 2025-1-14 17:27
哈哈哈，十几年前就见你处理过了的~~
把他们(源自乎提问区)集中此帖吧.
若 $a,b>0$ 满足 $\frac2a+\frac1b=1$ ，则 $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$ 的最小值为____.
Solution 1 倒代换+极坐标
先作置换 $a\mapsto\frac1a,\ b\mapsto \frac1b$ ，（目的是将条件转化为线性的），命题转化为
若 $a,b>0$ 满足 $2a+b=1$ ，则 $\frac 2{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}$ 的最小值为____.
再（极坐标转换）设 $a=\rho\cos\theta$ ， $b=\rho\sin\theta$ ， $\theta\in(0,\pi/2)$ ， $\rho>0$ ，则有 \[\rho=\frac{1}{2\cos\theta+\sin\theta},\] 故记\begin{gather*}
x=\frac{2}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2\big(2\cos\theta+\sin\theta\big)}{\cos\theta+\sin\theta-1},\\[1em]
\Rightarrow (x-2)\sin\theta+(x-4)\cos\theta=x,\\[1ex]
\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(x-4)^2}\geqslant x\\[1ex]
\Rightarrow x\geqslant 10,\ {\cancel{x\leqslant 2}},
\end{gather*} 当且仅当 $\tan\theta=\frac43$ 即 $\sin\theta=\frac{4}{5}$ ， $\cos\theta=\frac35$ ，进一步知 $\ a=\frac3{10},\ b=\frac25$ （注意：这是作倒代换后）时取得等号.
Solution 2 旁切圆
建立直接坐标系 $xOy$ ，取直线 $l:\dfrac xa+\dfrac yb=1$ ，由$\dfrac2a+\dfrac1b=1$ ，知直线过定点 $P(2,1)$ .
记直线 $l$ 分别与 x 轴，y 轴的交点为 $A(a,0)$ ， $B(0,b)$ ，作三角形 OAB 的旁切圆 C 与斜边 AB 切于点 Q，与 OA，OB 切点分别为 M，N，如图 1 所示，设其旁切圆 C 的半径为 ${\color{blue}{r}}$ ，由于 $\angle AOB=90^\circ$ ，所以旁切圆 $\bigodot C$ 的圆心 $C(r,r)$ .
图 1 圆 C 是直角三角形 OAB 的旁切圆，半径为 r
由勾股定理知 $AB=\sqrt{a^2+b^2}$ ，及切线长相等，知 \begin{align*}
a+b+\sqrt{a^2+b^2}&=OA+OB+AB\\[1ex]
&=OA+OB+(AQ+QB)\\[1ex]
&=OA+OB+AM+BN\\[1ex]
&=OM+ON\\[1ex]
&=2r,
\end{align*} 又在直角三角形 CPQ 中 \begin{gather*}
\sqrt{(r-2)^2+(r-1)^2}=CP\geqslant CQ=r,\\[1ex]
\Rightarrow r\geqslant 5,\ {\cancel{r\leqslant 1}}
\end{gather*} 所以 $a+b+\sqrt{a^2+b^2}\geqslant10$ ，当且仅当 Q 与 P 点重合时，亦即斜边 AB 与旁切圆 C 相切 P 时取得最小值. |
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hejoseph
发表于 2025-1-13 09:20
kuing
发表于 2025-1-13 13:51
