|
|
源自知乎提问区
题：若 $a,b>0$ 且 $2a+b=1$ ，则 $a^2+b^2$ 的最小值为_____.
给出几种高中生易理解的方式.
Solution 1 几何法
设 $a^2+b^2=r^2$ ，将 $(a,b)$ 看成有序实数对，建立直角坐标系数 $aOb$ ，则直线 $2a+b-1=0$ 与圆 $a^2+b^2=r^2$ 有交点 \begin{gather*}
\frac{\left|2\cdot 0+0-1\right|}{\sqrt{4+1}}\leqslant r\iff r\geqslant \frac1{\sqrt5},
\end{gather*} 即 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\frac15$ .
Solution 2 均值不等式
依 QM-AM 有 \begin{gather*}
\sqrt{\frac{\frac{a^2}4+\frac{a^2}4+\frac{a^2}4+\frac{a^2}4+b^2}{5}}\geqslant\frac{\frac{a}2+\frac{a}2+\frac{a}2+\frac{a}2+b}{5}\\[1ex]
\Rightarrow a^2+b^2\geqslant \frac{(2a+b)^2}5=\frac15.
\end{gather*}
Solution 3 依然均值不等式
\[\left\{\begin{aligned}a^2+\frac4{25}&\geqslant \frac45a,\\
b^2+\frac1{25}&\geqslant \frac{2b}5,\end{aligned}\right.\] 两式相加整理即得 $a^2+b^2\geqslant\frac15$ .
Solution 4 判别式
令 $a^2+b^2=t$ 则 \begin{gather*}
t=a^2+b^2=a^2+(1-2a)^2\\[1ex]
5a^2-4a+1-t=0\\[1ex]
\Delta_a=16-4\cdot 5(1-t)\geqslant 0\\[1ex]
\Rightarrow a^2+b^2=t\geqslant \frac15.
\end{gather*}
Solution 5 三角法（极坐标）
设 $a=\rho\cos\theta,b=\rho\sin\theta$ ，其中 $\rho>0,\ \theta\in(0,\pi/2)$ ，则 \begin{align*}
2\rho\cos\theta+\rho\sin\theta&=1\\[1ex]
\Rightarrow \rho=\frac1{2\sin\theta+\cos\theta}&=\frac1{\sqrt{5}\sin\left(\theta+\varphi\right)},
\end{align*} 其中 $\tan\varphi=2$ 且 $\varphi$ 为锐角，所以 \[a^2+b^2=\rho^2=\frac1{5\sin^2\left(\theta+\varphi\right)}\geqslant \frac15.\] |
|
