圆的弦

力工

此题好像与圆幂定理有关，但从几何的角度没能求，用三角函数也太难验证了。谢谢各位。
已知半径分别为$1,2$的同心圆的圆心为$O,A,B$为大圆上的点，$C$在小圆上,若$OB//AC，D$为点$B$在直线$AC$上的射影，求$DA\cdot AC$的最大值。

kuing

设 `O` 在 `AC` 上的射影为 `H`，设 `HC=x`，则 `AH=\sqrt{4-OH^2}=\sqrt{3+x^2}`, `DA=2-\sqrt{3+x^2}`，取最大值时必然 `H` 在 `A`、`C` 之间，此时 `AC=x+\sqrt{3+x^2}`，所以
\begin{align*}
DA\cdot AC&=\bigl(2-\sqrt{3+x^2}\bigr)\bigl(x+\sqrt{3+x^2}\bigr)\\
&=2x-3-x^2+(2-x)\sqrt{3+x^2}\\
&\leqslant2x-3-x^2+\frac{(2-x)^2+3+x^2}2\\
&=\frac12,
\end{align*}
当 `x=1/4` 取等。