怎么求这个函数的最小值？

wsdjzlh

\begin{align}
a^{x}-\frac{\ln x+1}{x}
\end{align}
就是这个含参的函数，a的范围要分两段讨论，一段的最小值好求，另一段的不好求，我研究好久都没办法，请各位大佬看一下

wsdjzlh

a>0

wsdjzlh

也就是\begin{align}
a>\frac{1}{e} ^{\frac{1}{e}}
\end{align}时的情况好算，最小值可表示为\begin{align}
\ln_{}{a}
\end{align}，另一种情况不知道能否表示

wsdjzlh

wsdjzlh 发表于 2024-6-10 22:02
a>0

求各位大佬看看啊😭

wsdjzlh

wsdjzlh 发表于 2024-6-11 22:11
也就是\begin{align}
a>\frac{1}{e} ^{\frac{1}{e}}
\end{align}时的情况好算，最小值可表示为\begin{alig ...

这种情况可用同构解得

Czhang271828

观察知:
$$
\text{原式}=\frac{e^{\ln x+x\ln a}-(\ln x+x\ln a)-1}{x}+\ln a\geq \ln a.
$$
取等时 $\ln x+x\ln a=0$, 这对应分类讨论的第一段 ($a\geq e^{-1/e}$). 另一段还在想.

isee

wsdjzlh 发表于 2024-6-11 22:22
求各位大佬看看啊😭

无论咋地，都涉及到超越方程的根，不好办，很难有一般结果，没人理是正常的

wsdjzlh

isee 发表于 2024-6-12 15:05
无论咋地，都涉及到超越方程的根，不好办，很难有一般结果，没人理是正常的 ...

🙏😭