求助：已知cos(a-b)+sina+sinb=0,求cos(a-b)最小值？a,b \in [0,2\pi]

kkgg

求助：已知cos(a-b)+sina+sinb=0,求cos(a-b)最小值？a,b \in [0,2\pi]

kuing

类似于这题：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12377 ，方法照搬：令
\[t=\cos\frac{a-b}2,\]
则对条件和差化积得
\begin{align*}
0&=\cos(a-b)+2\cos\frac{a-b}2\sin\frac{a+b}2\\
&=2t^2-1+2t\sin\frac{a+b}2,
\end{align*}
由此可得
\[(2t^2-1)^2\leqslant4t^2\riff t^2\geqslant1-\frac{\sqrt3}2,\]
所以
\[\cos(a-b)=2t^2-1\geqslant1-\sqrt3.\]

睡神

作圆$C$：$x^2+(y-1)^2=1$，在圆$C$上取两点$A(\cos\alpha,1+\sin\alpha),B(\cos\beta,1+\sin\beta)$

则$\vv{OA}\cdot \vv{OB}=\cos\alpha\cos\beta+(1+\sin\alpha)(1+\sin\beta)=1,|\vv{OC}|=|\vv{AC}|=1$

取$AB$的中点$M$

则$1=\vv{OA}\cdot \vv{OB}=|\vv{OM}|^2-|\vv{AM}|^2\le (|\vv{OC}|+|\vv{CM}|)^2-(|\vv{AC}|^2-|\vv{CM}|^2)=2|\vv{CM}|^2+2|\vv{CM}|$

解得：$|\vv{CM}|\ge \dfrac{\sqrt3-1}{2}$，即$|\vv{CM}|^2\ge 1-\dfrac{\sqrt3}{2}$

所以  $\cos(\alpha-\beta)=\vv{CA}\cdot \vv{CB}=|\vv{CM}|^2-|\vv{AM}|^2=|\vv{CM}|^2-(|\vv{AC}|^2-|\vv{CM}|^2)=2|\vv{CM}|^2-1\ge 1-\sqrt3$

kkgg

睡神 发表于 2024-5-28 01:07
作圆$C$：$x^2+(y-1)^2=1$，在圆$C$上取两点$A(\cos\alpha,1+\sin\alpha),B(\cos\beta,1+\sin\beta)$

则$\ ...

😂题目背景就是这个向量问题，我在想怎么用坐标法解决🙏

kkgg

kuing 发表于 2024-5-27 22:57
类似于这题：https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12377 ，方法照搬：令
\[t=\ ...

感谢感谢😀

kuing

kkgg 发表于 2024-5-28 09:52
😂题目背景就是这个向量问题，我在想怎么用坐标法解决🙏

果然还是那个向量题，之前的帖子中就有讨论过：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12291&page=1#pid59867

睡神

稍微变一下，又可以变成一个几何问题

如图，$\triangle OAB$为单位圆$C$的内接三角形，且$OD\cdot OA=1,BD \perp OA$，若$\triangle ABC$为钝角三角形，求$\triangle ABC$的最小面积

睡神

睡神 发表于 2024-5-28 15:06
稍微变一下，又可以变成一个几何问题

如图，$\triangle OAB$为单位圆$C$的内接三角形，且$OD\cdot OA=1,BD ...

几何渣渣弱弱的问一下：取$AB$的中点$M$，连接$OM$，不用向量，用几何法如何证明$OM^2-AM^2=1$？

kkgg

睡神 发表于 2024-5-28 22:23
几何渣渣弱弱的问一下：取$AB$的中点$M$，连接$OM$，不用向量，用几何法如何证明$OM^2-AM^2=1$？ ...

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=1 \\
\therefore \quad & O A \cdot O B \cdot \cos \theta=1 . \\
\therefore \quad & O A^2+O B^2-2 O A\cdot O B \cos \theta=A B^2=4 M B^2 . \\
\therefore \quad & O A^2+O B^2=4 M B^2+2 \quad (1) \\
\because \quad & O A^2+O B^2=2\left(O M^2+M B^2\right) \quad(2)
\end{aligned}
$$
(2) - (1). 得 $O M^2-M B^2=1$
这算不算几何法？