请教一道解三角形的最值题

snowblink

已知$\triangle ABC$的面积为1，内角$ A，B，C$所对的边分别为$a，b，c$，则$b^2 + \dfrac{1}{\sin B} $ 的最小值为

上图是某科网的解答，奇怪的是我去找到了原卷，但是原卷这题竟然自己都没有答案，想请问各位此题是否有比较自然的做法？

Aluminiumor

$$S=1\Longleftrightarrow ac\sin B=2$$
$$
\begin{align*}
b^2+\frac{1}{\sin B}
&=\frac{a\sin B}{\sin A}\cdot\frac{c\sin B}{\sin C}+\frac{1}{\sin B}\\
&=\frac{2\sin B}{\sin A\sin C}+\frac{1}{\sin B}\\
&=\frac{4\sin B}{\cos(A-C)-\cos(A+C)}+\frac{1}{\sin B}\\
&=\frac{4\sin B}{\cos(A-C)+\cos B}+\frac{1}{\sin B}\\
&\geq\frac{4\sin B}{1+\cos B}+\frac{1}{\sin B}\\
&=4\tan\frac B2+\frac{1+\tan^2\frac B2}{2\tan \frac B2}\\
&=\frac92\tan\frac B2+\frac12\frac{1}{\tan \frac B2}\\
&\geq3
\end{align*}
$$
易知可取等。

kuing

作内切圆代换 `(a,b,c)=(y+z,z+x,x+y)`，则有 `S=\sqrt{xyz(x+y+z)}=1`，然后由均值
\begin{align*}
b^2+\frac1{\sin B}&=b^2+\frac{ac}2\\
&=(z+x)^2+\frac{(y+z)(x+y)}2\\
&=(z+x)^2+\frac12zx+\frac12y(x+y+z)\\
&\geqslant\frac92zx+\frac12y(x+y+z)\\
&\geqslant2\sqrt{\frac92zx\cdot\frac12y(x+y+z)}\\
&=3.
\end{align*}

isee

将多元放缩到一元.

由面积知 $2ac=
\frac4{\sin B}$ ，由余弦定理，均值不等式，有
\begin{align*}
b^2+\frac1{\sin B}&=b^2+\frac{1}{\sin B}\\
&=a^2+c^2-2ac\cos B+\frac1{\sin B}\\
&\geqslant2ac-2ac\cos B+\frac1{\sin B}\\
&=\frac{5-4\cos B}{\sin B},
\end{align*}
再由辅助角公式 \[3\sin B+4\cos B=5\sin(B+\varphi)\leqslant 5\iff 5-4\cos B\geqslant 3\sin B,\]
于是
\begin{align*}
b^2+\frac1{\sin B}&\geqslant\frac{5-4\cos B}{\sin B}\\
&\geqslant\frac{3\sin B}{\sin B}\\[1ex]
&=3.
\end{align*}

取等略.

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PS：由辅助角公式，可得\[a\sin x\leqslant \sqrt{a^2+b^2}-b\cos x\iff b\cos x\leqslant \sqrt{a^2+b^2}-a\sin x.\]