构造性最值问题

力工

不知这道题怎么解，这样的题对我全是懵朦梦，求大神们出手指导。
对$1,2,\cdots ,10$的一个排列$x_1,x_2,\cdots ,x_{10}$,求$S=|2x_1-3x_2|+|2x_2-3x_3|+\cdots +|2x_9-3x_{10}|+|2x_{10}-3x_1|$的最值。

其妙

这不是《2024北京大学暑期学堂测试试题》吗？
2024 年北京大学暑期学堂测试数学试题
1．已知正实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$ ，求 $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}$ 的最大值
2．求满足 $\left([\sqrt{n}]^2+2\right) \mid\left(n^2+1\right)$ 的所有正整数 $n$
3．求所有不超过 2024 的正奇数 $n$ ，使得存在整数 $a, b$ ，满足 $\left[x^2\right]+a x+b=0$ 恰有 $n$ 个不居的解

4．在 $\triangle A B C$ 中，$B X$ 为平分线，$A X / / B C, A B / / C Y, X Y=A C$ ，求 $\angle B A C-\angle A C B$

5．$x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 为 $1,2,3, \cdots, 10$ 的全排列，且 $x_{11}=x_1$ ，
求 $S=\left|2 x_1-3 x_2\right|+\left|2 x_2-3 x_3\right|+\cdots+\left|2 x_9-3 x_{10}\right|+\left|2 x_{10}-3 x_1\right|$ 的最值．

力工

其妙 发表于 2024-8-16 19:11
这不是《2024北京大学暑期学堂测试试题》吗？

对啊，但一楼的题更早，不知是哪的模拟题

Aluminiumor

不妨 $x_1=1$,则
$$\begin{align*}
S
& =3x_2-2+\sum_{i=2}^{9}|3x_{i+1}-2x_i|+2x_{10}-3\\
& \geq3x_2-2+|3x_{10}-2x_2+\sum_{i=3}^{9} x_i|+2x_{10}-3 \\
& \geq3x_2-2+3x_{10}-2x_2+\sum_{i=3}^{9} x_i+2x_{10}-3 \\
& = \sum_{i=2}^{10} x_i+4x_{10}-5\\
& =4x_{10}+49
\end{align*}$$
取 $x_{10}=2$ 可得 $S\geq57$.
$(1,10,9,8,7,6,5,4,3,2)$ 可以取到 $57$.

去除绝对值符号后，$S$ 的表达式中必有$10$个负号。
故
$$S\leq(2+3)\times(10+9+8+7+6)-(2+3)\times(5+4+3+2+1)=125$$
$(10,5,6,4,7,2,8,1,9,3)$ 可以取到 $125$