几何求最值的题目，求助各位大神

匠心

AB=AD=2，BC=2√6，∠BCD=∠BEC，∠ABC=90°，求CE最小值.

Czhang271828

由于 $\triangle BCD$ 与 $\triangle BEC$ 相似, 有 $|BC|^2=|BD|\cdot |BE|$.

固定 $A$, $B$ 以及 $C$, 那么 $D$ 的轨迹是个圆. 如果知道反演, 那么 $E$ 的轨迹是直线且与 $AB$ 垂直, $E$ 到 $BC$ 的最短距离是 $\frac{|BC|^2}{2|AB|}=6$.

如果不知道反演, 那就直接计算 $E$ 到 $BC$ 的距离:
$$
d(E,BC)=|BE|\sin (\angle EBC)= \frac{|BC|^2}{|BD|/\sin (\angle EBC)}.
$$
由于 $\angle EBC+\angle ABD=90^\circ$, 那么 $|BD|/\cos (\angle EBC)$ 就是 $D$ 所在的圆之直径.

匠心

Czhang271828 发表于 2024-6-15 14:38
由于 $\triangle BCD$ 与 $\triangle BEC$ 相似, 有 $|BC|^2=|BD|\cdot |BE|$.

固定 $A$, $B$ 以及 $C$,  ...

非常感谢，两个思路都很不错