含有绝对值的函数，学考模拟卷最后一题

lrh2006

已知函数$ f(x)=x|x-a| $，
（1）若$ f(x) $为奇函数，求$ a $的值.
（2）当$ a=2 $时，方程$ f(x)=t-2|x-2| $有三个不同的实数根，求$ t $的取值范围.
（3）若$ g(x)=f(x)-x $，当$ a\leqslant 0 $时，对$ \forall x\in [0,\lambda ],-2\leqslant g(x)\leqslant 12 $，求$ \lambda  $的最大值及此时$ a $的值.
请教第（3）问，谢谢！

战巡

$a\le 0, x\ge 0$时
\[g(x)=f(x)-x=x(x-a)-x\]
于是
\[g(x)+2=x^2-x+2-ax=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}-ax>0\]
因此$g(x)>-2$是必然的，根本不用考虑

另一边
\[x(x-a)-x\le 12\]
\[0\le x\le \frac{a+1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(a+1)^2+48}\]
即
\[\lambda= \frac{a+1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(a+1)^2+48}\]
这个随便你用什么手段，不难证明其递增，最大值就在$a=0$时取到，有$\lambda=4$

lrh2006

战巡 发表于 2024-5-26 19:16
$a\le 0, x\ge 0$时
\[g(x)=f(x)-x=x(x-a)-x\]
于是

明白了，谢谢战老师。