二元分式函数最小值

敬畏数学

$ a>0,b>0, $ 则$ \frac{(a^2+2)(b^2+4)}{a+b}$的最小值_______.

kuing

干脆搞个一般的数字。

给定正数 `m`, `n`，设
\[f(a,b)=\frac{(a^2+m)(b^2+n)}{a+b},\quad a,~b\inR^+,\]
求 `f(a,b)` 的最小值。

解：待定 `x`, `y` 满足 `0<x<m`, `0<y<n`，由均值有
\begin{align*}
a^2+m&=a^2+m-x+x\geqslant2\sqrt x\sqrt{a^2+m-x},\\
b^2+n&=b^2+n-y+y\geqslant2\sqrt y\sqrt{b^2+n-y},
\end{align*}
相乘再用柯西得
\begin{align*}
f(a,b)&\geqslant\frac{4\sqrt{xy}\sqrt{(a^2+m-x)(n-y+b^2)}}{a+b}\\
&\geqslant\frac{4\sqrt{xy}\bigl(a\sqrt{n-y}+b\sqrt{m-x}\bigr)}{a+b},
\end{align*}
为了使右边为定值，还要满足均值及柯西的取等条件，`x`, `y` 需要满足以下方程组
\[\led
n-y&=m-x,\\
x&=a^2+m-x,\\
y&=b^2+n-y,\\
a^2b^2&=(m-x)(n-y),
\endled\]
设 `n-y=m-x=k`，则消去 `x`, `y`, `a`, `b` 得到
\[(m-2k)(n-2k)=k^2,\]
解得
\[k=\frac{m+n\pm\sqrt{m^2-mn+n^2}}3,\]
假如上式的 `\pm` 取 `+`，则 `k\geqslant(m+n+\min\{m,n\})/3\geqslant\min\{m,n\}`，这显然与 `n-y=m-x=k` 矛盾，所以上式的 `\pm` 只能取 `-`，此时
\[\frac{4\sqrt{xy}\bigl(\sqrt{n-y}a+\sqrt{m-x}b\bigr)}{a+b}=4\sqrt{(m-k)(n-k)k},\]
把 `k` 代入右边化简，最终可化为
\[\frac4{3\sqrt3}\sqrt{(m+n)(m-2n)(n-2m)+2\sqrt{(m^2-mn+n^2)^3}},\]
这就是 `f(a,b)` 的最小值。

回到原题，上式代 `m=2`, `n=4` 得结果为
\[\frac{16}3\sqrt[4]3.\]

snowblink

$\begin{aligned} & \frac{b^2+4}{a+b}=a+b+\frac{a^2+4}{a+b}-2 a \\ & \geqslant 2 \sqrt{a^2+4}-2 a \\ & x=\sqrt{a^2+4}-a>0 \\ & \Rightarrow a=\frac{4-x^2}{2 x} \\ & \frac{\left(a^2+2\right)\left(b^2+4\right)}{a+b} \\ & \geqslant 2 x \cdot \frac{x^4+16}{4 x^2} \\ & =\frac{x^4+16}{2 x} \\ & \geqslant \frac{16}{\sqrt[4]{27}} \end{aligned}$

敬畏数学

根据两位老大的想法，其实就是换元处理，第一：设a+b=t，用基本不等式消去t， 跟常见的二次除以一次分式没有本质区别，最后留下b;  第二：换元按照3#。太精彩！感谢两位牛大师出手指点！