已知$a$, $b$均为正数，$a^3+b^3+2ab=4$，求$a+b$的取值范围

aishuxue

已知$a$, $b$均为正数，$a^3+b^3+2ab=4$，求$a+b$的取值范围.
没想出来啊！

Czhang271828

设 $a+b=p$, $ab=q$, 则 $p(p^2-3q)+2q=4$. 此时
$$
q=\frac{p^3-4}{3p-2}\in{\color{red}(}0,p^2/4].
$$
解不等式, $\sqrt[3]4\,{\color{red}<} \,p\leq 2$.

注: 区间中的所有值均可以取到, 放心解不等式即可.

其妙

不等式研究欣赏qq群（群号码为305078297）里的某老师的解答，只给出了最大值，最小值好像没取到等号，最小值该怎么完善？

已知正数 $x, y$ 满足 $x^3+y^3+2 x y=4$，求 $x+y$ 的最大值设 $x+y=t$，则 $y=t-x$，代入已知得 $x^3+(t-x)^3+2 x(t-x)=4$整理得 $(3 t-2) x^2+t(2-3 t) x+t^3-4=0$
\[
\Delta=t^2(2-3 t)^2-4(3 t-2)\left(t^3-4\right) \geq 0
\]
即 $(2-3 t)(t-2)\left(t^2+4 t+8\right) \geq 0$，所以 $\frac{2}{3} \leq t \leq 2$，
当且仅当 $x=y=1$ 时，$x+y$ 取得最大值 2

kuing

其妙 发表于 2024-8-21 19:29
不等式研究欣赏qq群（群号码为305078297）里的某老师的解答，只给出了最大值，最小值好像没取到等号，最小 ...

用 2# 的方法就好了啊
（虽然有瑕疵，就是条件是正数，q 取不了 0，中间那里应该是 `\in(0,p^2/4]`，解出来就是 `\sqrt[3]4<p\leq 2`）