多元不等式

nttz

（1）已知$x^2+y^2=t$(t> 0,且为常数,x,y为实数),求$xy-x+y$的范围
（2）已知$x+3y=k$( x,y,k均是实数),求$x^2+64y^6$的最值
（3）一般形式已知多项式f(x,y)=0,求 求多项式g(x,y) 的范围的方法总结，包括那些基本方法，甚至是多元高次的形式，能否给出初等的解法分类

kuing

（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2+1}2,\]
下略。

（2）一般的 `k` 无简单解，请给出原题。

（3）问题太广泛，无法回答。

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 19:00
（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2 ...

第二题 假设 k = 2

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 19:00
（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2 ...

第一问 ，如何获得p的范围，是代入判别式么？能提供多种逻辑么

nttz

nttz 发表于 2023-7-15 19:59
第一问 ，如何获得p的范围，是代入判别式么？能提供多种逻辑么

比如基于 方程有实数解，还是运用不等式，还是什么函数思路之类的，

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 19:00
（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2 ...

网上有种解法我觉的有点问题，$x^2+y^2=t$转为 $(x-y)^2+2xy-t =0$,然后设$s = xy -x+y$,则 $ xy = s + (x-y)$,然后代入方程
消去x- y，然后根据关于xy的含参s的二次方程判别式 >=0,得到范围，这样做只是保证xy有实数解，但是xy不能有任意解，如何限定xy
的范围，以及保证这个范围内有解，这个如何写出等价不等式组，最好能说明原因

kuing

nttz 发表于 2023-7-15 19:49
第二题 假设 k = 2

没有简单解。

原题真的是 k=2？还是说这题是你自己随便编的？

kuing

nttz 发表于 2023-7-15 19:59
第一问 ，如何获得p的范围，是代入判别式么？能提供多种逻辑么

`2t=(1^2+(-1)^2)(x^2+y^2)\geqslant(x-y)^2`

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 21:22
没有简单解。

原题真的是 k=2？还是说这题是你自己随便编的？

编的，原来是x+y = 1

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 21:24
`2t=(1^2+(-1)^2)(x^2+y^2)\geqslant(x-y)^2`

楼6问题如何解决

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 21:24
`2t=(1^2+(-1)^2)(x^2+y^2)\geqslant(x-y)^2`

能给出初中方法么，这个用到柯西了

kuing

nttz 发表于 2023-7-15 21:27
能给出初中方法么，这个用到柯西了

那就按你 4# 说的代入判别式好了，我不知道初中能接受什么方法，所以其他方法像三角换元之类的就不说了

nttz

kuing 发表于 2023-7-16 00:18
那就按你 4# 说的代入判别式好了，我不知道初中能接受什么方法，所以其他方法像三角换元之类的就不说了 ...

就是判别式只能保证有实数解，不能保证实数解在什么范围，如何限定

kuing

nttz 发表于 2023-7-16 10:14
就是判别式只能保证有实数解，不能保证实数解在什么范围，如何限定

对于直线与二次曲线，不需要顾虑这个问题。

举个例子，`y=kx+b` 与 `x^2+y^2=1` 联立，前者代入后者，变成 `x^2+(kx+b)^2=1`，当 `\Delta\ge0` 时，说明该方程存在实数解 `x=x_{1,2}`，那么坐标 `(x_{1,2},kx_{1,2}+b)` 在圆上，并且它也在直线上，所以它便是两者的公共点。

但如果是两条二次曲线的话，判别式法有可能会失效，具体例子我一时没翻到。

hbghlyj

kuing 发表于 2023-7-16 14:31
具体例子我一时没翻到。

The depressed quartic polynomial $ x^{4}+cx^{2}+dx+e$ has discriminant \begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}The discriminant is zero if and only if at least two roots are equal. If the coefficients are real numbers and the discriminant is negative, then there are two real roots and two complex conjugate roots. Conversely, if the discriminant is positive, then the roots are either all real or all non-real.

例子：考虑$x^2 + 2 = y$与$x^2 + 2 y^2 + y = 2$的交点。消$y$得$(x^2+1)(x^2+4)=0$，而 Discriminant[(x2+1)(x2+4),x]>0

kuing

hbghlyj 发表于 2023-7-16 19:58
本帖最后由 hbghlyj 于 2023-7-16 20:19 编辑 kuing 发表于 2023-7-16 14:31具体例子我一时没翻到。The de ...

这个例子应该消 x 才能说明问题

hbghlyj

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