多元不等式

nttz

（1）已知$x^2+y^2=t$(t> 0,且为常数,$x,y$为实数),求$xy-x+y$的范围
（2）已知$x+3y=k$($x,y,k$均是实数),求$x^2+64y^6$的最值
（3）一般形式已知多项式f(x,y)=0,求多项式g(x,y) 的范围的方法总结，包括那些基本方法，甚至是多元高次的形式，能否给出初等的解法分类

kuing

（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2+1}2,\]
下略。

（2）一般的 `k` 无简单解，请给出原题。

（3）问题太广泛，无法回答。

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 19:00
（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2 ...

第二题 假设 k = 2

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 19:00
（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2 ...

第一问 ，如何获得p的范围，是代入判别式么？能提供多种逻辑么

nttz

nttz 发表于 2023-7-15 19:59
第一问 ，如何获得p的范围，是代入判别式么？能提供多种逻辑么

比如基于 方程有实数解，还是运用不等式，还是什么函数思路之类的，

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 19:00
（1）令 `p=x-y`，易知 `p\in [-\sqrt {2t},\sqrt {2t}]`，则
\[xy-x+y=\frac {t-p^2}2-p=\frac {t-(p+1)^2 ...

网上有种解法我觉的有点问题，$x^2+y^2=t$转为 $(x-y)^2+2xy-t =0$,然后设$s = xy -x+y$,则 $ xy = s + (x-y)$,然后代入方程
消去x- y，然后根据关于xy的含参s的二次方程判别式 >=0,得到范围，这样做只是保证xy有实数解，但是xy不能有任意解，如何限定xy
的范围，以及保证这个范围内有解，这个如何写出等价不等式组，最好能说明原因

kuing

nttz 发表于 2023-7-15 19:49
第二题 假设 k = 2

没有简单解。

原题真的是 k=2？还是说这题是你自己随便编的？

kuing

nttz 发表于 2023-7-15 19:59
第一问 ，如何获得p的范围，是代入判别式么？能提供多种逻辑么

`2t=(1^2+(-1)^2)(x^2+y^2)\geqslant(x-y)^2`

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 21:22
没有简单解。

原题真的是 k=2？还是说这题是你自己随便编的？

编的，原来是x+y = 1

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 21:24
`2t=(1^2+(-1)^2)(x^2+y^2)\geqslant(x-y)^2`

楼6问题如何解决

nttz

kuing 发表于 2023-7-15 21:24
`2t=(1^2+(-1)^2)(x^2+y^2)\geqslant(x-y)^2`

能给出初中方法么，这个用到柯西了

kuing

nttz 发表于 2023-7-15 21:27
能给出初中方法么，这个用到柯西了

那就按你 4# 说的代入判别式好了，我不知道初中能接受什么方法，所以其他方法像三角换元之类的就不说了

nttz

kuing 发表于 2023-7-16 00:18
那就按你 4# 说的代入判别式好了，我不知道初中能接受什么方法，所以其他方法像三角换元之类的就不说了 ...

就是判别式只能保证有实数解，不能保证实数解在什么范围，如何限定

kuing

nttz 发表于 2023-7-16 10:14
就是判别式只能保证有实数解，不能保证实数解在什么范围，如何限定

对于直线与二次曲线，不需要顾虑这个问题。

举个例子，`y=kx+b` 与 `x^2+y^2=1` 联立，前者代入后者，变成 `x^2+(kx+b)^2=1`，当 `\Delta\ge0` 时，说明该方程存在实数解 `x=x_{1,2}`，那么坐标 `(x_{1,2},kx_{1,2}+b)` 在圆上，并且它也在直线上，所以它便是两者的公共点。

但如果是两条二次曲线的话，判别式法有可能会失效，具体例子我一时没翻到。

数学小黄

判别式为零时,圆和椭圆是否相切 ?
椭圆与圆相交于两点也有可能相切，怎么用判别式描述？

kuing

两个二次曲线的位置关系最好不要用判别式去判断……

其妙

回复 17# 数学小黄
举一个例子呢？
最好还是上一道课外书上的习题吧

hbghlyj

四次多项式的判别式为零，当且仅当至少有两个根相等。
如果系数为实数，且判别式为负，则存在两个实根和两个复共轭根。
相反，如果判别式为正，则根要么全部为实数，要么全部为虚数。
例1：两个圆$x^2+(y+2)^2=1$与$x^2+(y-2)^2=1$没有实交点。消$x$得$y=0$有1个实根。
例2：$x^2 + 2 = y$与$x^2 + 2 y^2 + y = 2$没有实交点。消$x$得$y^2 + y - 2=0$有2个实根。

hbghlyj

数学小黄 wrote at 2013-12-3 08:36
判别式为零时,圆和椭圆是否相切 ?

例1：$x^2+(y+2)^2=1$与$x^2+(y-2)^2=1$消$y$得$x^2=-3$的判别式为零。
例2：$x^2 + 2 = y$与$x^2 + 2 y^2 + y = 2$没有实交点。消$y$得$x^4 + 5 x^2 = -4$的判别式=5184为正。