最小值问题

敬畏数学

正数x,y满足$ \sqrt{9x^2-1}+ \sqrt{9y^2-1}=9xy, $则$ 4x^2+y^2 $最小值——————。

kuing

令 `\sqrt{9x^2-1}=a`, `\sqrt{9y^2-1}=b`，则 `x=\frac13\sqrt{1+a^2}`, `y=\frac13\sqrt{1+b^2}`，条件变为
\begin{gather*}
a+b=\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)},\\
(a+b)^2=(1+a^2)(1+b^2),\\
(ab-1)^2=0,\\
ab=1,
\end{gather*}
所以
\[4x^2+y^2=\frac 49(1+a^2)+\frac 19(1+b^2)=\frac 19(5+4a^2+b^2)\geqslant \frac 19(5+4ab)=1.\]

敬畏数学

kuing 发表于 2024-10-4 13:36
令 `\sqrt{9x^2-1}=a`, `\sqrt{9y^2-1}=b`，则 `x=\frac13\sqrt{1+a^2}`, `y=\frac13\sqrt{1+b^2}`，条件变 ...

谢谢大师提醒。看到倒数第三行好像直接可以柯西（或者向量）！