正实数 $x,y$ , 求 $\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}$ 的最小值

O-17

本题是我在 qq 群 "小时间的高中数学交流群" 看到的, 个人解法如下
最小值为 $2$ , 只需注意到下述恒等式即可.

$$
\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}-2=\frac{x^3(x-y)^2+x^2y\left(xy^2+x^2+y-3xy\right)}{\left(x^2+2\right)\left(xy+1\right)\left(x+y\right)}+2\cdot\frac{(x-1)^2+(y-1)^2}{\left(x^2+2\right)\left(x+y\right)}\geqslant0.~\square
$$

O-17

说明一下这个恒等式 $({\rm a})$ 的构造方法,
$$
\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}-2=\frac{x^3(x-y)^2+x^2y\left(xy^2+x^2+y-3xy\right)}{\left(x^2+2\right)\left(xy+1\right)\left(x+y\right)}+2\cdot\frac{(x-1)^2+(y-1)^2}{\left(x^2+2\right)\left(x+y\right)}\tag{a}
$$
首先当 $(1-x)(1-y)\geqslant0$ 时, 不难得到
$$
\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}-2=\frac{x(x-y)^2+y\left(xy^2+x^2+y-3xy\right)+2(1-x)(1-y)}{(xy+1)(x+y)}\geqslant0.
$$
其次当 $(1-x)(1-y)<0$ 时, 不难得到
$$
\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}-2=\frac{(x-1)^2+(y-1)^2}{x+y}-\frac{x^2(1-x)(1-y)}{(xy+1)(x+y)}>0.
$$
至此其实已经完成了命题的证明, 但分类讨论稍嫌啰嗦, 可以利用消元法把分类元 $(1-x)(1-y)$ 消掉, 具体地, 即
$$
\begin{cases}
F=A+Bx\\
F=C-Dx
\end{cases}
\Rightarrow
F=\frac{AD+BC}{B+D}
$$
在上式中命
\begin{cases}
F=\dfrac{x^2}{xy+1}+\dfrac{y^2+2}{x+y}-2\\
A=\dfrac{x(x-y)^2+y\left(xy^2+x^2+y-3xy\right)}{(xy+1)(x+y)}
\\B=\dfrac{2}{(xy+1)(x+y)}\\
C=\dfrac{(x-1)^2+(y-1)^2}{x+y}
\\D=\dfrac{x^2}{(xy+1)(x+y)}
\end{cases}
整理即得式 $({\rm a})$ .

其妙

很简单的，莫想复杂了：
\[\frac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \frac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + 1}} + \dfrac{{{y^2} + 2}}{{\dfrac{{{x^2} + 1}}{2} + \dfrac{{{y^2} + 1}}{2}}} = \dfrac{{{x^2} + ({y^2} + 2)}}{{\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2}}{2}}} = 2\]

其妙

解法二：
\[\frac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \frac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {({x^2} + 1)({y^2} + 1)} }} + \frac{{{y^2} + 2}}{{\sqrt {({x^2} + 1)(1 + {y^2})} }} = \frac{{({x^2} + 1) + ({y^2} + 1)}}{{\sqrt {({x^2} + 1)(1 + {y^2})} }} \ge 2\]

其妙

解法三：当$xy + 1 \ge x + y$时，
\[\frac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \frac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \frac{{{y^2} + 2}}{{xy + 1}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 2}}{{xy + 1}} \ge \frac{{2xy + 2}}{{xy + 1}} = 2\]；
当$ x + y\ge xy + 1$时，
\[\frac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \frac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} = \frac{{({x^2} + 1) + ({y^2} + 1)}}{{x + y}} \ge \frac{{2x + 2y}}{{x + y}} = 2\]，
综上所述，$\dfrac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \dfrac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} \ge 2$.

Canhuang

O-17 发表于 2023-8-13 02:12
说明一下这个恒等式 $({\rm a})$ 的构造方法,
$$
\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}-2=\frac{x^3(x-y)^2+ ...

简单的题目没必用恒等式吧。

其妙

解法四：\[\begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \dfrac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} = \dfrac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + y}}\\
\ge \dfrac{{{{(x + y + 2)}^2}}}{{xy + 1 + 3x + 3y}} = \dfrac{{{{(x + y + 2)}^2}}}{{(x + 1)(y + 1) + 2x + 2y}}\\
\ge \dfrac{{{{(x + y + 2)}^2}}}{{\dfrac{{{{(x + 1 + y + 1)}^2}}}{4} + 2x + 2y}}\;\;\;\;(let\;\;x + y + 2 = t > 2)\\
= \dfrac{{4{t^2}}}{{{t^2} + 8(t - 2)}} = \dfrac{{4{t^2}}}{{{t^2} + 8t - 16}} = \dfrac{4}{{ - 16{u^2} + 8u + 1}}\\
= \dfrac{4}{{ - {{(4u - 1)}^2} + 2}} \ge \dfrac{4}{2} = 2
\end{array}\]

kuing

其妙 发表于 2023-8-13 10:32
解法四：\[\begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \dfrac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} = \dfrac{{{x^2}} ...

点了一下右上角的👁，看来是mathtype转的码😅

isee

其妙 发表于 2023-8-13 10:32
解法四：\[\begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2}}}{{xy + 1}} + \dfrac{{{y^2} + 2}}{{x + y}} = \dfrac{{{x^2}} ...

当年的其妙回来了，哈哈哈哈哈

其妙

isee 发表于 2023-8-13 22:10
当年的其妙回来了，哈哈哈哈哈

😊