二元对称多项式的最小值点不在边界上，有低于4次的例子吗

hbghlyj

二元对称多项式$F(x,y)$在区域$0\le x\le y\le 1$上的最小值点不在其边界上。

4次的例子，$F(x,y)=\left[\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\cdot\left[\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2\right]$

问题：有低于4次的例子吗？

爪机专用

低于四次，那整理成关于 p=x+y 与 q=xy 的式子后，q 最多一次，固定 p，则当 q 取最值时原式取最值，而 q 取最值要么 x=0 要么 x=y，都在边界。

hbghlyj

好像稍微有点问题如 $(x + y) (-3 + 2 x + 2 y)$ 最小值在$x+y=\frac34$上

hbghlyj

爪机专用 发表于 2024-12-26 19:15
q 最多一次，

解决了👌