一道很松的不等式

1+1=？

\[
\begin{aligned}
& \forall x>0, \mathrm{e} \geq y>1 \\
& 1+\ln x+x y-y \ln y \geq x \ln y+y \ln x
\end{aligned}
\]
如题，有什么简单方法吗

Czhang271828

使用 $\ln x\mapsto (x-1)$ 加强不等式 (左侧增加得少, 右侧增加得多), 得
$$
x+y\geq (x+y)\ln y.
$$