实系数多项式 $f(x)$ 的根均为实数

hbghlyj

de Gua, Histoire de l'Académie royale des sciences. Année 1741, p. 459.

实系数多项式 $f(x)$ 的根均为实数，则其各阶导数 $f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots, f^{(v)},\ldots$ 满足：

若 $\xi$ 为实数且 $f^{(v)}(\xi)=0$，则 $f^{(v-1)}(\xi) f^{(v+1)}(\xi)\le0$.

hbghlyj

不妨设$\xi=0$，变成

实系数多项式 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$ 的根均为实数，则 $a_0,a_1,\ldots,a_v,\ldots$ 满足：

若 $a_v=0$，则 $a_{v-1} a_{v+1}\le0$.

hbghlyj

$f(x)$ 的根均为实数，由Rolle中值定理得 $f^{(v-1)}(x)$ 的根均为实数。于是可以用 $f^{(v-1)}$ 代替 $f$，题变成：

实系数多项式 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$ 的根均为实数，则 $a_0,a_1,a_2$ 满足：

若 $a_1=0$，则 $a_0 a_2\le0$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-26 13:25
若 $a_1=0$，则 $a_0 a_2\le0$.

啊…我终于会了

不妨设$a_0\ne0$，则$f(x)$的根$x_i$均不为0.
若 $a_1=0$，则$\sum\frac1{x_i}=0$，则$\left(\sum\frac1{x_i}\right)^2=0$，则
$$2\sum_{i<j}\dfrac1{x_ix_j}=-\sum\dfrac1{x_i^2}\le0$$
则
$$\frac{a_2}{a_0}=\sum_{i<j}\dfrac1{x_ix_j}\le0$$则 $a_0 a_2\le0$.