$y=A \cos m x+B \sin m x$，$D_x^2 y+m^2 y=0$

hbghlyj

对函数$y = A\cos(mx) + B\sin(mx)$求一阶导，可得$D_xy = -A m\sin(mx) + B m\cos(mx)$.
进一步求二阶导，得到$D_x^2y= -A m^2\cos(mx) - B m^2\sin(mx) = -m^2\bigl(A\cos(mx) + B\sin(mx)\bigr).$
由于原式中 $y = A\cos(mx) + B\sin(mx)$，故有 $D_x^2y+m^2 y=0$.

hbghlyj

推广：设
$$
y = A\cos(mx) + B\sin(mx) + P_n(x),
$$
其中 $P_n(x)$ 是次数为 $n$ 的多项式。我们要证明
$$
D_x^{n+3}y + m^2D_x^{n+1}y = 0.
$$
多项式 $P_n(x)$ 在求导 $n+1$ 次之后必为零：$D_x^{n+1}P_n(x)=0$
而对剩下部分 $y_c$，已知
$$
D_x^2y_c + m^2y_c = 0.
$$
对该等式两边再求 $n+1$ 次导数：$D_x^{n+3}y_c+ m^2D_x^{n+1}y_c= 0$.