一道恒成立问题解法的疑问

lemondian

问题（2）的解答如下：

这个同构的解法是否正确？

kuing

首先解答的第一行输入错误，这不重要。

然而 g(x) 的单调增区间是 `(0,e^2)`，但是 `e^{ax}` 未必在这个区间内，所以 `g(e^{ax})\ge g(x)` 并不等价于 `e^{ax}\ge x`。

lemondian

kuing 发表于 2023-11-14 11:33
首先解答的第一行输入错误，这不重要。

然而 g(x) 的单调增区间是 `(0,e^2)`，但是 `e^{ax}` 未必在这个区 ...

@kuing:我也是这种看法，网上全是1#的解答过程，APP的某*业帮，某*猿也如此，可怕呀！
然后这种解答所得的结果却是对的

kuing

lemondian 发表于 2023-11-14 11:37
@kuing:我也是这种看法，网上全是1#的解答过程，APP的某*业帮，某*猿也如此，可怕呀！
然后这种解答所得 ...

可以补救：
当 `e^{ax}>e` 时有 `g(e^{ax})>0`，而由 `x\le e` 有 `g(x)\le0`，所以此时满足 `g(e^{ax})>g(x)`。
剩下 `e^{ax}\in(0,e]` 时就照原先的来。

敬畏数学

kuing 发表于 2023-11-14 12:25
可以补救：
当 `e^{ax}>e` 时有 `g(e^{ax})>0`，而由 `x\le e` 有 `g(x)\le0`，所以此时满足 `g(e^{ax})> ...

此题用这种方法，最后获得的答案为a=1/e。

lemondian

kuing 发表于 2023-11-14 12:25
可以补救：
当 `e^{ax}>e` 时有 `g(e^{ax})>0`，而由 `x\le e` 有 `g(x)\le0`，所以此时满足 `g(e^{ax})> ...

这种情形，a的取值范围是什么呢？

kuing

lemondian 发表于 2023-11-14 16:42
这种情形，a的取值范围是什么呢？

我意思是，2# 指出原答案在逻辑上有漏洞，因为 `e^{ax}` 不一定在增区间 `(0,e^2)` 内，所以不能直接由单调性推出 `g(e^{ax})\ge g(x)` 与 `e^{ax}\ge x` 等价。
而 4# 则证明了事实上 `e^{ax}>e` 时 `g(e^{ax})>g(x)` 仍然成立。
那么在补上这一点之后，就可以推出无论 `e^{ax}` 在不在那区间，都有 `g(e^{ax})\ge g(x)\iff e^{ax}\ge x`，这样答案就救回来了。

敬畏数学

kuing 发表于 2023-11-15 02:06
我意思是，2# 指出原答案在逻辑上有漏洞，因为 `e^{ax}` 不一定在增区间 `(0,e^2)` 内，所以不能直接由单 ...

只要说明是等价的，这一步说明还是必要的，说明了答案做法就可以了。牛！

kuing

今天又见到类似的解答，来自讨论组群：

v6mm131 2024/4/30 22:10:09

这个题解法有点问题吧
全网都这种解法
來ー妢铯圖KK 2024/4/30 22:35:29
没看出有啥问题？
哦，你意思是 lnax 有可能为负？
那应该可以补救
v6mm131 2024/4/30 22:40:15
是啊
为负无解？
來ー妢铯圖KK 2024/4/30 22:41:30
为负也没问题的啊，只是它不能套入 f 里面，但原不等式此时是成立的。
v6mm131 2024/4/30 22:44:29
这个时候成立，a的范围任意？
怎么表述呢
……
……

问题在于：这里定义的 `f(x)=xe^x`, `x>0`，但 `\ln(ax)` 有可能为负，所以不能直接套入 `f` 中。
而如果想扩大 `f(x)` 的定义至 `-\infty` 也不行，因为在负区间上就不单调了：`f'(x)=e^x(1+x)`，不恒为正。

补救方法：
若 `\ln(ax)\le0`，则 `\LHS<\RHS` 且 `\ln(ax)<2x`，即 原不等式 与 `\ln(ax)\le2x` 都为真；
若 `\ln(ax)>0`，则令 `f(x)=xe^x`, `x>0`……（接原文），得到 原不等式 `\iff\ln(ax)\le2x`。
所以无论 `\ln(ax)` 是正是负，都总有 原不等式 `\iff\ln(ax)\le2x`，那后面可以继续接原文，就救回来了。