同一道题两个结果

力工

此题为两地的模拟题，给出的解答却不同，请大家评评理，或给出更新的解答 。
若直线$y=kx+m$与曲线$f(x)=\frac{x-1}{e^x}(x>0)$相切，
且$kx+m\geqslant f(x)$对任意$x>0$恒成立，求$m$的最大值.

kuing

小猿之类的 app 给的答案并不代表官方答案，经常有错，建议找官方答案。

kuing

以下也非官方答案，只是我随便写的快速判断答案的方法：
\[f(x)=\frac {x-1}{e^x},~f'(x)=\frac {2-x}{e^x},~f''(x)=\frac {x-3}{e^x},\]
可见 `f(x)` 在 `(0,2)\nearrow`，在 `(2,+\infty)\searrow`，在 `(0,3)` 内上凸。

设切点横坐标为 `x_0`。
（1）若 `0<x_0\leqslant2`，则切线斜率 `k\geqslant0`。
因为 `f` 在 `(0,3)` 内上凸，则在 `(0,3]` 内 `f(x)` 必在切线的下方。
对于 `[3,+\infty)` 内的，由 `k\geqslant0` 即切线不减，而 `f(x)` 却在递减，所以肯定 `f(x)` 在下方，满足要求；

（2）如果 `x_0>2`，则切线斜率 `k<0`，则当 `x` 充分大时，切线一定穿过 `x` 轴到第四象限，变成负数，而 `f(x)` 为正，肯定不满足。

综上知 `x_0\in(0,2]`，由 `k\geqslant0` 知 `m\leqslant f(x_0)\leqslant f(2)=1/e^2`，当 `x_0=2` 取等，所以 `m_{\max}=1/e^2`。