同一道题两个结果

力工

此题为两地的模拟题，给出的解答却不同，请大家评评理，或给出更新的解答 。
若直线$y=kx+m$与曲线$f(x)=\frac{x-1}{e^x}(x>0)$相切，
且$kx+m\geqslant f(x)$对任意$x>0$恒成立，求$m$的最大值.

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（1）函数 $f(x)$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=\frac{2-x}{e^x}$ 。当
$0<x<2$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，函数单调递增；当 $x>2$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，函数单调递减。（2）设切点为 $\left(x_0, \frac{x_0-1}{e^{x_0}}\right)$ ，则切线方程为
$y=\frac{2-x_0}{e^{x_0}} x+\frac{x_0^2-x_0-1}{e^{x_0}}$ 。令
$g(x)=\frac{2-x_0}{e^{x_0}} x+\frac{x_0^2-x_0-1}{e^{x_0}}-\frac{x-1}{e^x}$ ，则
$g(x) \geq 0$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立。求导可得 $g^{\prime}(x)=\frac{2-x_0}{e^{x_0}}-\frac{2-x}{e^x}$ ，令 $g^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=x_0$ 。 由于 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值，所以 $g\left(x_0\right)=\frac{x_0^2-2 x_0}{e^{x_0}} \geq 0$ 。 解得 $x_0 \leq 0$ 或 $x_0 \geq 2$ ，又因为 $x_0>0$ ，所以 $x_0 \geq 2$ 。令 $h(x)=\frac{x^2-x-1}{e^x}$ ，则 $m=h\left(x_0\right)$ 。求导可得 $h^{\prime}(x)=\frac{-x^2+3 x}{e^x}$ ，令 $h^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=3$ 。 由于 $h(x)$ 在 $x=3$ 处取得最大值，所以 $m$的最大值为 $h(3)=\frac{5}{e^3}$ 。 答案（1）$f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,2)$ ，单调递减区间为 $(2,+\infty)$ 。（2）$m$ 的最大值为 $\frac{5}{e^3}$ 。

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（2）由（1）知，$f(x)_{\max}=f(2)=\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ ．
当 $m=\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ 时，直线 $y=\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ 是曲线 $f(x)$ 的切线，且 $\frac{1}{\mathrm{e}^2} \geq f(x)$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立，满足题意；
当 $m>\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ 时，设直线 $y=k x+m$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切于点 $\left(x_0, y_0\right), y_0 \leq \frac{1}{\mathrm{e}^2}$ ，
因为 $y_0=k x_0+m$ ，所以 $k x_0=y_0-m<0$ ，又 $x_0>0$
，因此 $k<0$ ，
又因为 $k=f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{2-x_0}{\mathrm{e}^{x_0}}<0$ ，所以 $x_0>2$ ，
$y_0=f\left(x_0\right)=\frac{x_0-1}{\mathrm{e}^{x_0}}>0$,
取 $x_1=-\frac{m}{k}=-\frac{y_0-k x_0}{k}=-\frac{y_0}{k}+x_0>x_0>2$ ，则 $k x_1+m=0, ~ f\left(x_1\right)=\frac{x_1-1}{\mathrm{e}^{x_1}}>0$ ，
因此存在 $x_1 \in(0,+\infty)$ ，使得 $k x_1+m<f\left(x_1\right)$ ，
不满足题意．
综上，$m$ 的最大值为 $\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ ．

kuing

小猿之类的 app 给的答案并不代表官方答案，经常有错，建议找官方答案。

kuing

以下也非官方答案，只是我随便写的快速判断答案的方法：
\[f(x)=\frac {x-1}{e^x},~f'(x)=\frac {2-x}{e^x},~f''(x)=\frac {x-3}{e^x},\]
可见 `f(x)` 在 `(0,2)\nearrow`，在 `(2,+\infty)\searrow`，在 `(0,3)` 内上凸。

设切点横坐标为 `x_0`。
（1）若 `0<x_0\leqslant2`，则切线斜率 `k\geqslant0`。
因为 `f` 在 `(0,3)` 内上凸，则在 `(0,3]` 内 `f(x)` 必在切线的下方。
对于 `[3,+\infty)` 内的，由 `k\geqslant0` 即切线不减，而 `f(x)` 却在递减，所以肯定 `f(x)` 在下方，满足要求；

（2）如果 `x_0>2`，则切线斜率 `k<0`，则当 `x` 充分大时，切线一定穿过 `x` 轴到第四象限，变成负数，而 `f(x)` 为正，肯定不满足。

综上知 `x_0\in(0,2]`，由 `k\geqslant0` 知 `m\leqslant f(x_0)\leqslant f(2)=1/e^2`，当 `x_0=2` 取等，所以 `m_{\max}=1/e^2`。