在C处的切线平行于欧拉线

hbghlyj

$A(-1, 0),B(1, 0)$
求证：曲线$x y^2 + x^3 - 3x = c$（$c$为常数）在其上任一点$C$的切线平行于$\triangle ABC$的欧拉线

溦澜居士

抛砖引玉,还要排除重合情况
\begin{aligned}
& H\left(x_0, \frac{1-x_0^2}{y_0}\right) \\
& O\left( 0, \frac{x_0^2+y_0^2-1}{2 y_0}\right)\\
&k_{O H}=\frac{3-3 x_0^2-y_0^2}{2 x_0 y_0}\end{aligned}在$$x y^2+x^3-3 x=c$$两边对 $x$ 求导得
$$
y^2+2 x y y'+3 x^2-3=0
$$
故 $y'=\frac{3-3 x^2-y^2}{2 x y}$
因此平行