关于三边中点对称 椭圆 切线

hbghlyj

过椭圆上的点D,E,F作其切线交于A,B,C
设D,E,F关于ABC的三边中点的对称点为D',E',F'.
设AD',BE',CF'所共之点为P
过P作直线交ABC三边于Q,R,S
关于三边中点的对称点为Q',R',S'
则Q'R'S'在椭圆的一条切线上.

kuing

点太多，先简化一下：由于拉伸不改变共线、对称及相切，所以拉伸不改变结论，于是将椭圆拉伸成圆，此时 P 就是界心（Nagel 点），因此问题化为：

过 `\triangle ABC` 的界心 `N` 的直线交三边于 `Q`, `R`, `S`，则它们关于三边中点的对称点为 `Q'`, `R'`, `S'` 共线且该线与 `\triangle ABC` 的内切圆相切。


当然了，接下来咋办我是一点思路也木有

hbghlyj

回复 2# kuing
Q'R'S'共线直接由梅氏定理得到。如何证明相切呢

hbghlyj

回复 3# ellipse
由射影几何知识，Q'R'S'包络一个圆锥曲线c。当PQR过A时得到c与BC相切，同理与CA,AB相切。当PQR平行于BC,CA,AB时得内切圆的三条切线，它们与c相切。这样就确定下来6条切线，所以c就是内切圆。