椭圆中点弦及切线方程的另类推导

kuing

注：以下方法其实在我高二的时候已经发现了，而刚才有群里提起椭圆切线方程的推导，故此重提一下。

不难证明，如果两椭圆相交，且它们的方程相减后得出直线方程，则该直线方程就是它们的公共弦方程。

现在设椭圆 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 内部有一点 $P(x_0,y_0)$，且 $P$ 不为其中心，易知与该椭圆关于 $P$ 点中心对称的椭圆为
\[A(2x_0-x)^2+B(2x_0-x)(2y_0-y)+C(2y_0-y)^2+D(2x_0-x)+E(2y_0-y)+F=0,\]
由于 $P$ 在两对称椭圆内，则两椭圆必相交，而两方程作差后可以整理为
\[Ax_0x+B\frac{x_0y+xy_0}2+Cy_0y+D\frac{x_0+x}2+E\frac{y_0+y}2
-(Ax_0^2+Bx_0y_0+Cy_0^2+Dx_0+Ey_0)=0,\]
为直线方程，故此它就是两椭圆的公共弦方程（亦为以 $P$ 为中点的弦）。
特别地，当 $P$ 在椭圆上时，此公共弦退化为 $P$ 处的切线，而此时 $Ax_0^2+Bx_0y_0+Cy_0^2+Dx_0+Ey_0=-F$，所以得到 $P$ 处的切线方程为
\[Ax_0x+B\frac{x_0y+xy_0}2+Cy_0y+D\frac{x_0+x}2+E\frac{y_0+y}2+F=0.\]

longzaifei

真能玩！！！

游客

圆、双曲线、抛物线也都可以吧？
论文一篇

isee

哦，对了，圆中切线看你这么干过。

kuing

回复 3# 游客

结论是一样的，只不过双曲线在对称相交方面的细节说明我怕会有麻烦，所以仅说椭圆就算了，毕竟我写这帖的目的只是把方法介绍出来就行。

游客

kuing

昨晚人教群的一道题：

春天 家长(3130*****) 2023/4/14 0:26:31
11. 过点 `P(3,0)` 有一条直线 `l`，它夹在两条直线 `l_1: 2x-y-2=0` 与 `l_2: x+y+3=0` 之间的线段恰被点 `P` 平分，求直线 `l` 的方程。
求教第11题
有没有计算量小的方法

虽然是全是直线的事，但两直线可看作退化双曲线，故此同样可以用 1# 的方法，回复如下：

阅A爱好者🥰k(249533164) 2023/4/14 1:39:38
`l_1 : 2 x - y - 2 = 0`, `l_2 : x + y + 3 = 0`
关于 `P(3,0)` 对称的直线分别为
`l_3 : 2 (6 - x) + y - 2 = 0`, `l_4 : 6 - x - y + 3 = 0`，
计算 `l_1\cdot l_2-l_3\cdot l_4`，有
\[(2 x - y - 2)\cdot(x + y + 3) - (2 (6 - x) + y - 2)\cdot(6 - x - y + 3) = 4 (8 x - y - 24),\]
那么所求直线方程便是 `8 x - y - 24 = 0`。

nttz

这个结论没有问题，有个逻辑要完善下p在椭圆内，为啥必相交？
如果在椭圆上，为啥就是相切的呢

hbghlyj

nttz 发表于 2023-7-26 10:45
p在椭圆内，为啥必相交？

见geometry 2022第1题
只用到证明的前半段：

Let $\mathrm{C}$ be the curve and $\mathrm{C}^{\prime}$ the curve obtained by rotating $\mathrm{C}$ through $180^{\circ}$ about $\mathrm{P}$. Let $\mathrm{m}$ be a point on $\mathrm{C}$ closest to $\mathrm{P}$, and $\mathrm{M}$ a point on $\mathrm{C}$ furthest from $\mathrm{P}$. Then $\mathrm{m}$ must lie inside or on $\mathrm{C}^{\prime}$, and $\mathrm{M}$ must lie outside or on $\mathrm{C}^{\prime}$. Hence $\mathrm{C}$ and $\mathrm{C}^{\prime}$ must intersect.

nttz

hbghlyj 发表于 2023-7-26 11:31
见geometry 2022第1题
只用到证明的前半段：

一个最近一个最远为啥就得出结论

hbghlyj

nttz 发表于 2023-7-27 10:53
一个最近一个最远为啥就得出结论

$C'$的补集由两个不同的连通分支组成：$C'$内部、$C'$外部。
$m,M\in C$，$m$在$C'$内部，$M$在$C'$外部。
$C$可以分为从$m$到$M$的两段曲线，根据Jordan曲线定理这两段分别与$C'$相交，交点为$Q$和$Q'$。

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Jordan曲线定理说明每一条Jordan曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。
(王家军2020fall) jordan曲线定理
(朱永兴) Jordan 曲线定理
(王作勤22S-Topology Lec26) Jordan 曲线定理
Jordan curve theorem - 知乎

nttz

hbghlyj 发表于 2023-7-27 12:46
$C'$的补集由两个不同的连通分支组成：$C'$内部、$C'$外部。
$m,M\in C$，$m$在$C'$内部，$M$在$C'$外部。 ...

看似简单的问题，还要用大学的东西来解释😁